即矢量在特定基矢上的投影。在三维欧几里得空间，这样一个矢量长度的平方等于各分量的平方和

这个等式又可以被改成为

其中 g 即是度规张量。

在三维欧几里得空间，度规张量即是对角的单位矩阵。而一般地，它可以取为基之间的点积

不难看出，如果取的基矢都是正交的，则度规的对角项应该为0。扩展到闵氏时空中，注意到线元的定义是

对应的度规以矩阵形式应当表达为

与欧几里得空间度规本质的不同出现在左上角的“-1”，体现了时间维度与空间维度之间的差异。

用数学的语言，度规张量是一个二阶张量。结合对矢量的描述，张朝阳总结道，张量的阶数即是需要用多少个指标来标记它的分量（Component）。以闵氏时空为例，一阶张量即是矢量， 它需要用一个指标 α = 0，1，2，3 来标记区分它的四个分量。而二阶张量，除了前述的 α = 0，1，2，3 ，还需要一个额外的指标 β = 0，1，2，3 来共同标记它的 4 × 4 = 16 个分量。因为恰好拥有两个指标，二阶张量如度规张量可以被表达为矩阵的形式。

自然地，三阶张量是一组 4 × 4 × 4 =64个数，需要三个指标来标记它的分量。与零、一、二阶张量不同，它没有更为人所熟知的表达，而是一个更为抽象的数学对象。更高阶的张量的性质也类似可知。高阶的张量可以由更低阶的张量通过一种称之为“直积”的运算。“直积”即将两个张量直接“相乘”，运算的结果是一个阶数为阶数是两个相乘张量阶数之和的张量。比如，两个一阶张量直积，以逆变形式表达

结果是一个二阶逆变张量；以协变形式表达，

结果是一个二阶协变张量。

在广义相对论的学习中，经常接触的最高可到四阶张量，典型的是所谓的黎曼曲率张量。作为数学对象，高阶张量高度抽象与复杂，但正因如此，它恰好能恰当地刻画同样高度抽象和复杂地时空的内禀性质。所以，张量能够描述内禀的性质，因为按照完整的定义，张量是一个不随广义坐标变换改变的量。以局域上的矢量变换为例，如下式，在箭头左侧，取定一组基矢 e，可以将矢量表达为三个分量的形式。

但同时，施加变换坐标

后，局域上将取到一组基矢 e'，同样可以展开得到三个分量，如箭头右侧所示。可以证明，如果分量满足一定的变换规则

则可以保证整个矢量 V 保持不变。相应得，协变指标也要满足一定的变换规则

（张朝阳介绍度规与张量缩并）

弯曲时空上的协变导数

在了解了张量是描述弯曲时空内禀性质的基本工具，以及它的基本性质后，重新回到最初的问题：应该怎么描述一个时空的内禀弯曲呢？直观上来想，“弯曲”意味着相邻的不同的点上，一个矢量会发生相应的偏转。此时，向量的定义是逐点的，也就是与坐标相关的

为了叙述简便，这里暂且考虑三维空间的情况，获得相应的灵感和经验后，再将其推高到四维时空。要研究空间如何弯曲，第一步就要考虑上面的矢量场如何随着位置不同变换。数学上，考虑一个对象的变化很容易让人联想到对其求导数。

直接来想，对于一个需要若干个分量描述的对象，可以逐个求其分量的导数。以一个协变张量为例，直接求偏导即得到一组 3 × 3 = 9 个数

或者利用指标，可以将其改写为

不难看到，这样一个数学对象带有两个指标 α 和 γ，一个自然的问题是：它是一个二阶张量吗？直接计算容易验证，它不满足张量定义中要求的变换规则，所以答案是否定的。

所以，简单的求导并不能反应空间的内禀性质。为了实现这一点，可以引入一个修正项，使得

成为满足变换规则的一个二阶张量。其中

是一组由三个指标标记的数，成为克氏符（Christoff symbol）。值得注意的是，它的分量也不满足变换规则，所以克氏符也不是一个张量。而它们整体构成的二阶张量则被称之为对一阶张量的协变导数（covariant derivative）。类似的，也可以定义对二阶张量的协变导数。因为二阶张量带有两个指标，相应地，对其求导需要利用克氏符对它作两次修正

得到的是一个三阶张量。

现在的问题是，可以看到构造满足张量变换规则的导数依赖于克氏符带来的修正，那克氏符是什么呢？ 前面提到过，一个时空的性质可以用度规来刻画，于是自然地可以猜想，克氏符应该与度规有关。度规是一个二阶张量，代入上面的定义中，同样可以得到一个三阶张量。在广义相对论中，一般规定克氏符的修正要使得度规的协变导数

由于指标符号除了指代整数外，没有特定的意义，所以可以考虑轮换三个指标，得到两条等式

同时，要求克氏符满足所谓的无挠条件

此时，组合以上公式 (2) + (3) - (1) 得到

整理后可以得到克氏符对度规的依赖关系

这里利用了度规的逆为

至此，在弯曲空间上的求导操作已经被良好定义了。

截至到目前的讨论中，其实一直假设已经存在一个已知、给定的度规 g，然后去讨论如何用它构造相应的量来描述时空的弯曲，张朝阳补充解释。这样讨论的逻辑类似于分析综合法，带着存在度规的假设构建出合适的曲率表达后，可以再转而分析曲率与物质之间具体的数学关系，从而给出度规需要满足的条件，把度规具体地确定下来，便可构成一个完整的理论。

（张朝阳推导克氏符与度规的关系）

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