本文是数分三的期末小论文，时间很赶，我对这篇小论文很不满意. 数分三期末有道大题看错了算了一堆不对的东西，最后发现了也没来得及算完，简直依托答辩. 这篇文章缝的东西来源也不多，De Rham 上同调群纯粹凑字数，不过以后应该是碰不到了，或许也有可能碰到. 下学期必修课要冲冲分了，想去听的黎曼几何和随机矩阵也要好好听.

在微分形式的理论中，外微分算子 \(\mathrm{d}\) 起到相当重要的作用. 我们定义过闭微分形式和恰当微分形式的概念. 本文中记号 \(\Omega^{p}(M)\) 表示光滑流形 \(M\) 上的所有光滑实值 \(p\) 次微分形式的空间，而 \(\Omega(M)\)

定义1.1 微分形式 \(\omega \in \Omega^{p}(M)\) 称为闭微分形式（下简称闭形式），如果 \(\mathrm{d}\omega=0\).

定义1.2 微分形式 \(\omega \in \Omega^{p}(M)(p>0)\) 称为恰当微分形式（下简称恰当形式），如果满足 \(\omega=\mathrm{d}\alpha\) 的微分形式 \(\alpha \in \Omega^{p-1}(M)\) 存在.

流形 \(M\) 的所有闭 \(p\) 形式的集合记为 \(Z^{p}(M)\)，而 \(M\) 上的所有恰当 \(p\) 形式的集合记为 \(B^{p}(M)\).

课上在定义外微分算子 \(\mathrm{d}\) 时，自动有 \(\mathrm{d}^{2}=0\)，所以 $B{p}(M)Z{p}(M) $. 一般而言这个包含关系是严格的.

这就引出一个问题，当微分形式 \(\omega\) 满足必要条件 \(\mathrm{d}\omega=0\) 时，方程 \(\mathrm{d}\alpha=\omega\) 是否可解. 这与 \(M\) 的拓扑结构有关，本文将介绍最简单版本的庞加莱定理及其应用.

先给出一个定义

定义2.1 流形 \(M\) 称为可收缩（于点 \(x_0\in M\)）的或单点同伦的，如果存在光滑映射 \(h\colon M\times I\rightarrow M\)，其中 \(I=[0,1]\)，使 \(h(x,1)=x\)，\(h(x,0)=x_0\).

定理2.2（庞加莱定理）. 可收缩于点的流形 \(M\) 上的任何闭 \(p+1\) 形式 \((p\geqslant 0)\) 都是恰当的.

考虑“柱体” \(M\times I\)，即 \(M\) 与单位区间 \(I\) 的直积，以及两个映射 \(j_{i}\colon M\rightarrow M\times I\)，\(j_{i}(x)=(x,i),i=0,1\)，它们使 \(M\) 分别等同于柱体 \(M\times I\) 的两个底面. 于是有相应的拉回映射 \(j_{i}^{*}\colon \Omega^{p}(M\times I)\rightarrow \Omega^{p}(M)\)，其结果是把 \(\Omega^{p}(M\times I)\) 中的微分形式中的变量 \(t\) 改为 \(i\) 的值. 注意此时若自变量中含 \(\mathrm{d}t\) 项，则拉回的结果当然是 \(0\).

构造一个线性算子 \(K\colon \Omega^{p+1}(M\times I)\rightarrow \Omega^{p}(M)\)，它在作用于单项式的时候由以下方式确定： \[ K(a(x,t)\mathrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_{p+1}}):=0, \]

\[ K(a(x,t)\mathrm{d}t \wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge\mathrm{d}x^{i_p}):=\left( \int_{0}^{1} a(x,t) \mathrm{d}r \right) \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p}. \]

关于算子 \(K\) 的我们所需要的基本性质是，对于任何一个微分形式 \(\omega \in \Omega^{p+1}(M\times I)\)，以下关系式成立： \[ K(\mathrm{d}\omega)+\mathrm{d}(K\omega)=j_1^{*}\omega-j_0^{*}\omega. \tag{1} \]

因为算子 \(K,d,j_1^{*},j_0^{*}\) 都是线性的，故只要对单项式验证这个关系式. 如果 \(\omega=a(x,t)\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_{p+1}}\)，则 \(K\omega=0\)，\(\mathrm{d}(K\omega)=0\)， \[ \mathrm{d}\omega=\frac{\partial a}{\partial t}\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}x^{i_{p+1}}+\text{不含 $\mathrm{d}t$ 的项}, \]

\[ \begin{aligned} K(\mathrm{d}\omega)&=\left( \int_{0}^{1} \frac{\partial a}{\partial t} \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x^{i_1} \wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_{p+1}} \\ &=(a(x,1)-a(x,0))\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}x^{i_{p+1}}=j_1^{*}(\omega)-j_0^{*}(\omega), \end{aligned} \]

所以关系式（1）成立.

如果 \(\omega=a(x,t)\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p}\)，则 \(j_1^{*}\omega=j_0^{*}\omega=0\). 于是 \[ \begin{aligned} K(\mathrm{d}\omega)&=K\left(-\sum_{i_0}^{} \frac{\partial a}{\partial x^{i_0}}\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x^{i_0}\wedge\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \right)\\ &=-\sum_{i_0}^{} \left( \int_{0}^{1} \frac{\partial a}{\partial x^{i_0}}\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}x^{i_0}\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p}, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}(K\omega)&=\mathrm{d}\left( \left( \int_{0}^{1} a(x,t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \right) \\ &=\sum_{i_0}^{} \frac{\partial }{\partial x^{i_0}}\left( \int_{0}^{1} a(x,t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x^{i_0}\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p}\\ &=\sum_{i_0}^{} \left( \int_{0}^{1} \frac{\partial a}{\partial x^{i_0}} \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x^{i_0}\wedge\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \end{aligned} \]

因此在这种情况下（1）也成立.

现在，设 \(M\) 是可收缩于点 \(x_0 \in M\) 的流形，\(h\colon M\times I\rightarrow M\) 是定义3中的映射，\(\omega\) 是 \(M\) 上的 \(p+1\) 形式. 显然 \(h \circ j_1\colon M\rightarrow M\) 是恒等映射，\(h\circ j_0\colon M\rightarrow x_0\) 是 \(M\) 到点 \(x_0\) 的映射，所以 \((j_1^{*}\circ h^{*})\omega=\omega\)，\((j_0^{*}\circ h^{*})\omega=0\). 因此，这时从（1）推出 \[ K(\mathrm{d}(h^{*}\omega))+\mathrm{d}(K(h^{*}\omega))=\omega. \tag{2} \] 又因为 \(\omega\) 是 \(M\) 上的闭形式，而且 \(\mathrm{d}(h^{*}\omega)=h^{*}(\mathrm{d}\omega)=0\)，所以从（2）得到 \[ \mathrm{d}(K(h^{*}\omega))=\omega. \]

因此，闭形式 \(\omega\) 是微分形式 \(\alpha=K(h^{*}\omega)\in \Omega^{p}(M)\) 的外微分，即 \(\omega\) 是 \(M\) 上的恰当形式

引入向量场 \(X\) 与微分形式 \(\omega\) 的内积.

定义4. 设 \(X\) 是光滑流形 \(M\) 上的向量场，\(\omega\) 是 \(M\) 上的 \(k\) 次微分形式. 由关系式 \((i_{X}\omega)(X_1,\cdots ,X_{k-1}):=\omega(X,X_1,\cdots ,X_{k-1})\)（其中 \(X_1,\cdots ,X_{k-1}\) 是 \(M\) 上的向量场）确定的 \(k-1\) 形式 \(i_{X}\omega\) 称为场 \(X\) 与微分形式 \(\omega\) 的内积. 对于 \(0\) 形式，即对于 \(M\) 上的函数，取 \(i_{X}f=0\).

先证明一个引理，

引理1. 设 \(t\mapsto h_t \in C^{\infty}(M,N)\) 是光滑地依赖于参数 $t I $ 的一族从流形 \(M\) 到流形 \(N\) 的映射. 则对于任何微分形式 \(\omega \in \Omega(N)\)，以下同伦公式成立： \[ \frac{\partial }{\partial t}(h_t^{*}\omega)(x)=\mathrm{d}h_t^{*}(i_{X}\omega)(x)+h_t^{*}(i_{X} \mathrm{d}\omega)(x), \tag{3} \]

其中 \(x \in M\)；\(X\) 是 \(N\) 上的向量场，并且 \(X(x,t)\in TN_{h_t(x)}\)，而对于道路 \(t'\mapsto h_{t'}(x)\)，\(X(x,t)\) 是在 \(t'=t\) 时的速度向量.

证明： 首先如果在图 $^{n}U M $ 的局部坐标 \(x^{1},\cdots ,x^{n}\) 下，微分形式 \(\omega|_{U}\) 的表达式为 \[ \sum_{1\leqslant i_1