因为有限元分析中要用到一些材料力学方面的知识，因为没学过塑性力学所以了解了一下相关知识，本文视作自己记录之用，以后还可以翻翻，省得再去找一堆资料了。

首先，材料力学中工程应力定义为：

$$ \alpha = \frac{F}{A_0} $$

式中$A_{0}$为初始横截面面积，$F$为拉伸试验的作用力。

工程应变的定义公式为：

$$ \varepsilon = \frac{l-l_0}{l_0}= \frac{\Delta l}{l_0} $$

式中$l_0$为初始长度，$l$ 为拉伸后长度。

根据拉伸试验可以得到以下大致的关系图：（请原谅我盗个图）

╭( ′• o •′ )╭☞警察叔叔！就是这个人(｡•ˇ‸ˇ•｡)

在实际的拉伸过程中材料会发生颈缩现象，横截面积在变化，所以工程应力应变并不能准确反映材料在拉升过程中的变化。根据工程应力的定义我们可以得出真实应力的定义公式：

$$ \sigma_T = \frac{F}{A_T} $$

式中 $A_T$ 表示在拉伸过程中的实际横截面积。

对于大多数金属来说,根据不可压缩性,可以得到以下公式：

$$ l_0A_0=lA_T $$

$$ \therefore A_T=\frac{l_0A_0}{l} $$

代入真实应力定义公式有：

$$ \sigma_T = \frac{Fl}{A_0l_0}= \sigma \frac{l}{l_0} $$

根据工程应变定义可以得到：

$$ \frac{l}{l_0}=1+ \varepsilon $$

$$ \therefore \sigma_T=\sigma(1+\varepsilon) $$

这个公式就是真实应力与工程应力应变的关系

对于真实应变，首先我们可以根据定义得出单位时间内的应变为：

$$ \Delta\varepsilon = \frac{\Delta l}{l} $$

式中$l$为拉伸过程中的长度。上面这个式子可以写成：

$$ \mathrm{d}\varepsilon_T = \frac{\mathrm{d}l}{l} $$

有木有感觉到还是熟悉的味道，还是熟悉的配方,来个积分就变成了以下这个模样：

$$ \int{\mathrm{d}\varepsilon_T} = \int_{l_0}^{l} \frac{\mathrm{d}l}{l} $$

然后就有：

$$ \varepsilon_{T} = \int_{l_0}^{l} \frac{\mathrm{d}l}{l} = ln \frac{l}{l_0} $$

这个就是真实应变的计算公式。然后根据工程应变公式就可以得到真实应变与工程应变的关系式：

$$ \varepsilon_T = ln(1+ \varepsilon) $$

我们再看看工程应变和真实应变到底相差多少,这里要用到我一直很讨厌的泰勒级数展开（可惜不是斯威夫特）：

$$ \varepsilon_T = ln(1+ \varepsilon)= \varepsilon - \frac{\varepsilon ^2}{2} + \frac{\varepsilon ^3}{3}- \frac{\varepsilon ^4}{4}+ \cdots $$

从这里可以看出当变形程度很小时（大致10%），$\varepsilon_T$和$\varepsilon$几乎相等。

经过上面的一堆吧啦吧啦和巴巴拉魔法后，只要记住两个关系公式就行了：

$$ \sigma_T=\sigma(1+\varepsilon) $$

$$ \varepsilon_T = ln(1+ \varepsilon) $$

来看个直观一点的曲线图吧：（咳咳，你懂的）

图中Corrected曲线是考虑到颈缩之后复杂的截面状况做的修正，其实我也不懂(＠_＠;)，哇哈哈,以后再深究。