欧拉公式的推导方法是，在服从胡克定律的前提下，得到梁的曲率方程，再由曲率方程推导出挠曲线近似微分方程，挠曲线微分方程积分并根据边界条件确定积分常数，从而确定压杆的临界压力。综上所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的，杆内的应力小于比例极限。

压杆在临界压力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力。

其中

式中，λ 称为柔度（长细比），i 为截面的惯性半径。

柔度又称为压杆的长细比，反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。

由欧拉公式的推导过程可知，欧拉公式的适用范围，临界应力小于或等于材料的比例极限

可得

这类杆件称为大柔度杆，或细长杆。

当杆件的柔度小于λp 时，临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式不再适用。对于这类杆件工程中一般使用以试验为依据的经验公式：直线公式、抛物线公式。

1. 直线公式

这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题，直线公式，即临界应力与柔度成线性关系，且临界应力随柔度增大而减小

式中，a、b 为与材料性能有关的常数。

当应力增大到屈服极限时，材料发生屈服失效，这时不再是稳定问题，而是强度问题，其临界应力最大值为

可得直线公式适用的柔度下限值

即直线公式适用的柔度范围

这类杆件称为中柔度杆件。

当杆件的柔度小于λs 时，称为小柔度杆或短粗杆。这类压杆发生强度失效，而不是稳定失效，临界应力

临界应力随柔度变化的关系，可画出曲线如下图所示，称为压杆的临界应力总图。

临界应力总图（直线公式）

2. 抛物线公式

对于中柔度杆和小柔度杆，不同的工程设计中，也可以采用抛物线公式计算临界应力

式中，a1 和b1 也是与材料有关的常数。

临界应力总图（抛物线公式）

工程中大部分受压杆件不是大柔度杆件，可以采用折减弹性模量理论分析这类压杆的临界压力。

材料在压缩时的应力-应变曲线如图所示，当应力超过比例极限时，加载时应力应变曲线为非线性，把这部分曲线的切线斜率作为该应力水平的弹性模量，称为切线弹性模量。卸载时，由卸载规律，卸载曲线的斜率与弹性段相同，即与加载时弹性段的弹性模量相同。

下面以矩形截面为例。对于λσp，当杆件从直线平衡状态过渡到微弯平衡状态时，截面上产生了弯曲应力，由于中性轴两侧分别产生拉应力和压应力，弯曲压应力一侧使原有压应力增大，弯曲拉应力一侧使原有的压应力减小开始卸载，由于加载和卸载的弹性模量不同，且Eσ