在结构力学分析中，我们会遇到大量有关应力和应变的定义。它们可能是第二类皮奥拉-基尔霍夫应力（Second Piola-Kirchhoff Stress） 或者对数应变（Logarithmic Strain）。在这篇博客文章中，我们将调查这些数量，讨论为什么需要如此多不同定义的应力和应变，并说明作为有限元分析人员了解这些应力和应变的重要性。在许多教材中，都能找到张量表达式与变换的定义，您也可以通过本篇博文末尾的一些网站链接查看相关定义，本文中不再详细给出。

在评估材料的力学数据时，会进行单轴拉伸试验。拉伸试验实际测量的是力与位移的关系曲线，但是为了使这些结果与试样尺寸无关，通常用应力与应变 的关系来表示结果。如果变形足够大，那么将遇到的一个问题:我是根据样本的原始横截面积计算应力，还是根据当前的面积计算应力？答案是两种定义都会被使用，它们分别被称为名义应力 和真实应力。

第二个并不是很明显的问题是：如何测量 相对伸长，即应变。将伸长长度与原始长度之间的比率定义为 工程应变，\epsilon_{eng} = \frac{L-L_0}{L_0}。但是，对于较大的拉伸，更常见的是使用拉伸 \lambda=\frac{L}{L_0}，或者真实应变(对数应变 \epsilon_{true} = \log\frac{L}{L_0} = \log \lambda。

真实应变在金属试验中更为常见，因为它适合许多塑性模型。对于可能具有很大伸长率的材料，例如橡胶，拉伸是一个更常见的参数。请注意，对于未变形的材料，拉伸为 \lambda=1。

为了在分析中利用测量数据，我们必须确保以下两点:

单轴数据的转换并不困难，但一定不能忘记。

同一拉伸试验的应力-应变曲线。

大多数结构力学问题可以在这样的假设下进行分析，即变形与结构的尺寸相比非常小，因此可以为未变形的几何形状建立平衡方程。在这种情况下，不同应力和应变测量之间没有区别。如果位移、旋转或应变变得足够大，则必须考虑几何非线性。这时，我们开始考虑区域单元实际上发生了变化，原始长度和变形长度之间存在差异，且变形过程中方向可能会发生变化。在数学上，有几种等价的方法可以表示这种有限变形。

对于上面的单轴试验，不同的表示非常简单。然而在现实生活中，几何图形是三维的，具有多轴应力状态，并且可能在空间中旋转。即使我们只是考虑同样的拉伸试验，保持应力应变固定在一定水平，然后旋转试样，也会出现问题。我们期待什么样的结果？应力和应变分量的值是否会发生变化？

最基本和最常用的应力量是柯西应力（Cauchy stress），也称为真实应力。它是通过研究作用在变形体中无穷小面积单元上的力来定义的。力分量和该区域的法线在空间上都有固定的方向。这意味着，如果受力物体受到纯旋转，应力分量的实际值将会改变。最初的单轴应力状态可以转化为包含正应力和剪应力分量的全张量。在很多情况下，这既不是我们想要使用的，也不是我们所期望的。

例如，考虑纤维是具有一定取向的正交各向异性材料。更有可能的是，我们想看到纤维方向的应力，即使分量是旋转的。第二类皮奥拉–基尔霍夫应力就具有这个属性，它是沿着材料方向定义的。在下图中，一根原本笔直的悬臂梁顶端受到纯力矩的弯曲。图中显示了柯西应力的xx-分量(上图)和第二类皮奥拉-基尔霍夫应力的xx分量(下图)。由于应力是沿着梁的物理方向，柯西应力的xx-分量(与整体x-方向相关)随挠度减小。然而，第二类皮奥拉-基尔霍夫应力在整个梁上具有相同的全厚度分布，即使在变形结构中也是如此。

具有恒定弯矩的初始直梁的柯西应力和第二类皮奥拉-基尔霍夫应力。

我们可能会遇到的另一个应力度量是第一类皮奥拉-基尔霍夫应力（First Piola-Kirchhoff stress）。它是名义(或工程)应力的多轴概括。应力被定义为当前配置中作用在原始区域上的力。第一类皮奥拉-基尔霍夫张量是非对称张量，因此不太适合使用。

有时我们也可能会遇到基尔霍夫应力（Kirchhoff stress）。基尔霍夫应力只是随体积变化而变化的柯西应力。它几乎没有物理意义，但在一些数学和数值运算中却很方便。

不幸的是，即使没有旋转，所有这些应力表示的实际值也不相同。就局部体积变化和拉伸而言，它们的比例都不同。下图说明了这一点。在梁的固定端绘制了几个应力的xx-分量，其中梁轴与x-轴重合。在梁的中心，应变和体积变化很小，所有值都相互接近。因此，对于大旋转但应变小的情况，应力表示可以看作同一应力张量的纯旋转。

梁固定端的轴向应力分布。

如果我们想计算某个边界上的合力或力矩，实际上只有两种可能的选择:要么在变形边界上积分柯西应力，要么在未变形构型中在同一边界上积分第一类皮奥拉-基尔霍夫应力。在 COMSOL Multiphysics 软件中，这些计算对应于在积分算子设置中选择“空间坐标系”或“材料坐标系”。

在研究上述单轴拉伸试验时，引入了三种不同的应变表示。可以将它们都推广到多轴情况，但对于真正的应变来说，这并不是微不足道的。它必须通过主应变方向的表示来完成，因为这是求张量对数的唯一方法。对数应变的一般张量表示通常被称为亨基应变（Hencky strain）。

变形还有许多其他可能的表现形式。然而，任何合理的表示都必须能够表示无应变物体的刚性旋转而不产生任何应变。工程应变在这里失效，因此它不能用于一般的几何非线性。代表大应变的一个常见选择是格林-拉格朗日应变（Green-Lagrange strain）。它包含相对于原始构型的位移导数。因此，这些值代表材料方向的应变，类似于第二类皮奥拉-基尔霍夫应力的行为。这允许进行物理解释，但必须认识到，即使对于单轴情况，格林-拉格朗日应变相对于位移也是强非线性的。如果一个物体被拉伸到原来长度的两倍，格林-拉格朗日应变在拉伸方向上为 1.5。如果物体被压缩到其长度的一半，应变将为 -0.375。

一个更基本的量是变形梯度 \mathbf F，它包含变形坐标相对于原始坐标的导数，\mathbf F = \frac{\partial \mathbf x}{\partial \mathbf X}。变形梯度包含关于固体中局部变形的所有信息，并可用于形成许多其他应变量。例如，格林-拉格朗日应变为 \frac{1}{2} (\mathbf{F}^T \mathbf F-\mathbf I)。类似的应变张量是阿尔曼西应变张量（Almansi strain tensor）,\frac{1}{2} ( \mathbf I-( \mathbf{F} \mathbf F^T)^{-1}) ，但这是基于变形构型中坐标的导数。阿尔曼西应变张量将指向空间中固定的方向。

表示连续介质力学问题的一般方法是使用弱形式。在力学中，这被称为虚功原理，它指出，在当前应力作用下，无穷小的应变变化所做的内功等于在载荷作用下相应的虚位移所做的外功。然后必须选择应力和应变测量值，以使它们的乘积给出准确的能量密度。这种能量密度可能与未变形或变形的体积有关，这取决于内部虚功是在原始几何结构上积分还是在变形几何结构上积分。

下表总结了一些相应的共轭应力-应变对:

在 COMSOL Multiphysics 软件的固体力学 接口 中，虚功原理总是用未变形的几何构型来表示(“材料坐标系”)，然后使用格林-拉格朗日应变和第二类皮奥拉-基尔霍夫应力。这样的公式有时被称为“全拉格朗日”公式。相反，基于当前构型中的量的公式被称为“更新的拉格朗日”公式。