数字信号处理(DSP)个人学习总结(四) |
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数字信号处理(DSP)个人学习总结(四)
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Z变换
Z变换的定义与收敛域
Z变换定义
由DTFT的分析式 \[X(e^{jω})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} \]将其中的\(e^{-jωn}\)换成\(r^{-n}e^{-jωn}\)，令\(z=re^{jω}\)，即可得到Z变换的定义式 \[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \]其中\(z=re^{jω}\)，当\(r＝1\)时（即\(z=e^{jω}\)）为DTFT的分析式。 其反变换为（由圆周积分可以得到） \[x[n]=\frac{1}{2 \pi \mathrm{j}} \oint_{c} X(z) z^{n-1} \mathrm{~d} z \]Z变换的收敛域使级数收敛的所有z值的集合，称为收敛域。 若\(x[n]r^{-n}\)绝对可和，则X(z)收敛，原因如下 \[\begin{array}{l} X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] r^{-n} e^{-\mathrm{j} \omega n} \\ |X(z)| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] r^{-n} \| e^{-j \omega n}\right|=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] r^{-n}\right| \end{array} \]由于定义式中n是从负无穷到正无穷，因此n小于等于-1和n大于等于0需要分别考虑。 将上述不等式写成如下式子
对于n从0到正无穷的部分，若存在Rx-使之小于无穷，则收敛域为|z| > Rx-，即当r越大，则后面的指数部分越小，则越有可能收敛。即当z只有负幂次项时，ROC是以原点为圆心的圆外。 对于n从负无穷到-1的部分，若存在Rx+使之小于无穷，则收敛域为|z| < Rx+，即当r越小，则后面的指数部分越小，则越有可能收敛。即当z只正幂次项时，ROC是以原点为圆心的圆内。 当负幂次项和正幂次项都存在时，考虑两者的交集，无交集ROC不存在；有交集ROC为圆环。 对于有限长序列，只要当\(|x[n]| |
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