定义1：广义实数：\(R\cup \{-∞,+∞\}\)

规定\(0\times\pm ∞=0\)

下面几种无穷运算无意义。 \[\frac{∞}{∞}，\frac{∞}{0}，\frac{a}{0}\\ (+∞)-(+∞)，(-∞)-(-∞)，(+∞)+(-∞)，(-∞)+(+∞)\]

定义2：对于在\(E\subset R^n\)上的函数\(f\)，我们用记号： \[E[f(x)>a]\] 表示\(E\)中满足\(f(x)>a\)的点\(x\)的集合全体，即 \[E[f(x)>a]=\{x|x ∈ E，f(x)>a\}\]

类似的可以定义：\(E[f(x)>a]，E[f(x)t\}\cup \{x ∈ A:g(x)>t\}\\ &第一个因为f(x)=g(x)，第二个因为m(A)=0\\ &=\{x ∈ E-A:f(x)>t\} 为可测集 \end{aligned}\] 由此可知，对于一个可测函数来说，当改变它在零测集上的值时不会改变函数的可测性

定义：可测函数：\(f(x)\)是定义在可测集\(E\subset R^n\)上的广义实值函数，如果对于\(\forall t ∈ R^1\)，有点集 \[\{x ∈ E:f(x)>t\}(或简写作x:f(x)>t)\] 是可测集，则称\(f(x)\)是在\(E\)上可测函数，或称\(f(x)\)在\(E\)上可测。

这一定义中虽然指的是对任意的\(t\in R^1\)，但实际上我们只需要对\(R^1\)中的一个稠密集中的元\(r\)，指出集合\(\{x:f(x)>r\}\)是可测集即可。

补充定义：稠密。若\(A⊂B且\bar A=B\)， 则称A在B中稠密，或称A是B的稠密子集。A的闭包等于B。

稠密的相对概念是无处稠密，又称疏朗。如果一个闭包的内核是空集，即\(\bar E^\circ=\emptyset\)，则称\(E\)在\(R^n\)上是无处稠密集（疏朗集）。

例如，\(E\subset R^n\)，若\(\bar E =R^n\)则称\(E\)为\(R^n\)中的稠密集。有理数集和无理数集都是稠密集。整数、\(集合\{1,1/2,1/3,\dots \}\)、Cantor集在实数轴\(R\)上是无处稠密集。

无处稠密的闭集的补集是一个稠密的开集，因此无处稠密集的补集是内部为稠密的集合。一个无处稠密集并不一定就是可忽略的。例如，如果\(X\)位于单位区间\([0,1]\)，不仅有可能有勒贝格测度为零的稠密集（例如有理数集），也有可能有测度为正数的无处稠密集。

例如（一个康托尔集的变体），从\([0,1]\)内移除所有形为\(a/2n\)的最简二进分数，以及旁边的区间\([a/2^n − 1/2^{2n+1}, a/2^n + 1/2^{2n+1}]\)；由于对于每一个\(n\)，这最多移除了总和为\(1/2^{n+1}\)的区间，留下的无处稠密集的测度就至少是\(1/2\)（实际上刚刚大于0.535……，因为重叠的原因），因此在某种意义上表示了\([0,1]\)的大多数空间。

定理：设\(f(x)\)是可测集\(E\)上的函数，\(D\)是\(R^1\)中的一个稠密集。若对任意的\(r ∈ D\)，点集\(\{x:f(x)>r\}\)都是可测集，则对任意的\(t\in R^1\)，点集\(\{x:f(x)>t\}\)也是可测集。

证明：任选一个实数\(t\)，因为\(D\)在\(R^1\)中稠密，所以我们能够在\(D\)中取一点列\(\{r_k\}\)，使得 \[r_k≥t(k=1,2,\dotsb); \lim_{k→ ∞}r_k=t\] 我们有 \[\{x:f(x)>t\}=\bigcup_{k=1}^∞ \{x:f(x)>r_k\}\] 因为每一个点集\(\{x:f(x)>r_k\}\)都是可测集，可测集的任意并集也是可测集，所以\(\{x:f(x)>t\}\)也是可测集。

定理：等价定义：对于\(E\)上的可测函数\(f(x)，t ∈ R^1\)，则以下点集都可测：