当粽子遇上数学

粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，中国的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方形、圆锥形、金字塔形、三角形等，但是最常见的还是“四角粽子”，也就是三角形的四面体粽子，粽子为啥是三角形？

面对这样的问题，不同的人总会有不同的想法：

数学控会说：三角形更有稳定性。

吃货说：三角形粽子能一口吃到馅！

正所谓仁者见仁，智者见智，对于这个问题，大家是众说纷纭，其实有人专门研究过粽子的形状，从实用性和民间传说的角度给出了合理解释。

◆用料节约

各地包粽子的材料不太一样，但基本都是植物的叶子，叶宽而长韧，但毕竟是叶子，宽度有限。三角形包法只用1叶或2叶就能包成，而长方形大概就要的3、4片。因此，将粽子包成四面体的形状，既可以节约原料，又不失饱满度。

◆形状合理

三角的粽子四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，倘若将粽子做成方形，那么任何一个面要与其他面衔接而不使米饭漏出来都需要把叶子折起来内扣，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，但垂直方向上是很容易折破的。

◆接下来我们再从几何学角度，来解析一下粽子中的门道。

四面体在现实生活中不太常见，仅仅听名字也难以想象它的形状，其实它还有个更容易被接受的名字——三棱锥。所有三棱锥都有六条棱，四个角、四个面，每个面都是三角形，每个三角形面都与一个角相对，底面是正三角形，其他三个面相等（一定是等腰三角形）的三棱锥，被称为正三棱锥，如果底面和其他三个面完全相等，此时四个面一定都是正三角形，那么这就叫做正四面体。

粽子做成正四面体有什么好处？

以长方体、立方体为代表的平行六面体，其实切下一个角都可以构成一个四面体。但是为什么大多数人都不将粽子做成长方体，而是做成有些奇怪的四面体呢？首先，不同于平行六面体的不稳定性（例如立方体框架可以左右摇晃），四面体的性质非常稳定，只要确定六条棱的长度，就能拼出一个唯一的四面体。因此四面体的粽子更不容易变形。

四角粽子虽然不一定是正四面体，但通常四个面也是相同的等腰三角形，将这个四面体的表面拆开，可以得到两个相等的菱形，这就意味着用两片相似的细长叶子，正好可以将其包裹住，做到了物尽其用。

正四面体还有个特点，就是拥有四条三重旋转对称轴，六个对称面，每两条对边都是相互垂直的，这就表明，不管在容器中怎样摆盘，粽子们看上去都是整整齐齐的平躺着，不会给人横躺侧卧的感觉。

正三棱锥还有一个重心，同时也是它的外接球体和内切球体的球心，就在顶点与底面重心的连线（高）上，将这条高分为3：1，也就是距离地面四分之一处。所以说，如果用牙签或筷子将粽子扎起来，找准这个点，就最能保证受力均匀，不容易掉下或者碎裂。

小小一个四面体的粽子，竟然有这么多几何学知识在其中，喜欢数学的朋友们不妨多观察一下，会有更多有趣的发现。

粽子的形状虽然很多，但四角粽子始终占着粽子界老大的位置。

为什么大家都愿意将粽子的形状做成四面体的形状呢？

吃货们也许会说因为不管从哪边吃，都能一口吃到馅。

但其实，这里面还有非常丰富数学知识！

接下来我们就从数学的角度，来把玩一下粽子里的门道。

正四面体认识一下

在现实生活中，四面体似乎不太常见，其实它还有个更容易被接受的名字——三棱锥。

所有三棱锥都有六条棱，四个角、四个面，每个面都是三角形，每个三角形面都与一个角相对，底面是正三角形，其他三个面相等的三棱锥，被称为正三棱锥。

如果底面和其他三个面完全相等，四个面都是正三角形，那么，这个立体图形就叫做正四面体。

1.不容易变形

既然四面体是生活中并不常见的形状，为什么粽子要做成这样奇怪的形状，而不是常见的长方形、正方形之类的呢？

我们知道，三角形是具有稳定性的形状，不容易变形。而由四个三角形构成，且每个三角形的面都对着一个角的四面体就和三角形一样，非常稳定，就像三角形一样，只要确定六条棱的长度，就能拼出一个唯一的四面体。

因此四面体的粽子更不容易变形。

即使经过长时间的蒸煮，也丝毫不用担心粽子会变形啦！

2.节省制作材料

同学们在学习立方体的时候，都学习过立体图形的展开图。最常见的是长方体、正方体、圆柱的展开图。

上图是正方体的展开图。你知道正四面体的展开图是什么样的吗？

以下就是正四面体的一种展开图：

也就是说，只要一片或者两片细长的粽叶，不需要再裁剪，就可以直接包出一个四面体的粽子出来。

3.高颜值，易摆放

正四面体堪称颜值之王！它有一个重要的特点，那就是：不论哪一个面朝下，都可以做到轴对称。

因此，不管在容器中怎样摆放，粽子们看上去都是整整齐齐的平躺着，不会给人横躺侧卧的感觉。

4.受力均匀不易散

接下来的这个知识，需要用到初高中的数学知识。但并不妨碍我们提前了解熟悉一下。

正四面体有一个重心，同时也是它的外接球体和内切球体的球心，就在顶点与底面重心的连线（高）上，将这条高分为3：1，也就是距离地面四分之一处。如果用牙签或筷子将粽子扎起来，找准这个点，就最能保证受力均匀，不容易掉下或者碎裂。

数学粽子来一个

如果要以粽子为载体，出一些相关的数学题目的话，我们很容易想到有多大，有多重的问题。

有多大，是表面积、体积的问题。

有多重，似乎又和体积相关。

粽子从外观上看，不太容易看出它的体积。但正四面体的体积和圆锥形一样，是的底面积乘以高再乘三分之一。如果你爱动脑筋，相信这应该难不倒你。

放两道题，大家自己感受一下命题人的“情有独粽”吧！

今天还想给大家介绍另外一种更为神秘的粽子形状奥秘， 无法想象它与洛书会产生这么微妙而神奇的联系。

我们仔细看看四角粽子的形状：四个角，四个面，六个棱边，高手还能做出角等角，面等面，边等边的对称粽子。

煮熟后解开系绳，剥开叶皮，俨然出现一个热气腾腾，还晶晶闪亮的正四面体。这与中国古代流传下来无比神秘的洛书会有什么样的联系呢？

洛书（太乙九宫占盘）属于3×3的三阶幻方，幻方是什么？用现代数学语言表达，就是指在n×n的棋盘格中放入1～n平方个数，使得每一行的和、每一列的和，以及两条对角线的和，均相等。幻方对于多数学过数学的同学，并不陌生！

现在的人类，用计算机最基本的Visual Basic，Visual foxpro，C语言等编程，就可以将任意阶的幻方计算出来，当然也包括阿当斯的六角幻方和我国的龟纹聚六图。

注：祖宗传承的"标准"洛书，太乙九宫占盘

注：上下易位的洛书

注：左右易位的洛书

把洛书看成行列式计算其值：

再由代数余子式推演洛书方阵的逆矩阵：

由此看来，祖宗传承的“标准”洛书，绝对不仅仅是简单的平面幻方和占卜工具，一定有更深层次的意义。

注意图中的对称易位法和最下面一行的红字，如果洛书不单是2维的平面三阶幻方的话，那么，从3维角度上看洛书，应该代表某种形体的2维射影（投影）。可能您已经猜到了，不错，正是重五节（即端午节）的粽子。“上五”重叠“下五”，是粽子的形体在平面上“重五”的方影子，是棱长为15的正四面体，从3维向2维的垂直射影图。若有疑虑，请回顾《射影几何学》和《三维解析几何》或《四维画法几何》中的相关定理，推演证明此略。

洛书，作为“重五粽子”的2维射影图，回升到3维空间时，有2个解（关键步骤）：

您可以在垂直洛书图面的方向，易位升降一下2-8连线和4-6连线，将出现2只方位不同的粽子。所以，洛书要表达的，是数学上称为“对偶”的2个正四面体（更多立方体，可参看欧拉公式）。洛书中，一圈白色的阳数，在3维空间里，坐标恰是正四面体的中腰法线，也就是绑粽子的线绳。为帮助理解，建议您用3双（6根）筷子，绑个架子看灯光的照影，当然最好做2个（阴阳对偶）。

我们刚刚打开洛书的一角，就已经看到：在洛书里面，包含着全世界盛传至极的神秘梅特塔隆立方体；包含着困扰考古界多年的金字塔成因之谜；包含着自然界演绎变化的分形几何规律；当然，洛书中更包含着经络的力量，和宇宙的法则。

河图与洛书，阴阳相依，构成了足以使远古文明复苏和再生的信息包。远古的祖先，曾经拥有过什么样的智慧和情操，藏“天地水火雷风山泽”于区区双图之内，没有漂亮的文字修饰来自我标榜；没有华丽的数学公式之繁杂推演；以其特有的，低姿态的象数结构，默含着最高级别的真理，穿越漫漫历史长河，向我们走来。

莱洛三角形|有趣的等宽曲线

画一个等边三角形，分别以三角形的三个顶点为圆心，以三角形的边长为半径作三个等圆，这三个圆相交的部分就是莱洛三角形，也译为勒洛三角形。弗朗兹·莱洛是十九世纪德国的一位机械学家，他最早把莱洛三角形引入到了工程领域，因此被大众熟知。

有的同学可能会说：“在生活中，我见过类似这种形状的物体，我家的扫地机器人就是这种形状的”、“我见过这种形状的井盖”、“吉他的拨片是这个形状”、“有的铅笔的横截面是圆弧三角形”、“骑士的盾牌有点像这种形状”……

那么莱洛三角形到底具备什么样的过人之处呢？

通过研究发现，莱洛三角形和圆有着相同的特点：无论从什么方向用两条平行线去夹它，这两条平行线间的距离总是一样的。我们称具有这种性质的图形为等宽曲线。

等宽曲线最初的定义是由一个十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux给出的：将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两条平行线相切，无论这个曲线图如何运动，只要它还在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这两条平行线间的距离称为等宽曲线的宽度，莱洛三角形的宽就等于正三角形的边长。

大家感兴趣的话，可以在卡纸上运用尺规作图的方法，画出一个莱洛三角形，将它剪下来，再剪一个边长等于它的宽的正方形的洞，你就会发现，这个正方形的洞正好可以合适地装入莱洛三角形，并且莱洛三角形可以在这个正方形洞内紧密无间地自由转动。

关于莱洛三角形小编先介绍这么多。

接下来进入轻松愉快的“包粽子”环节~

翻转六连粽

三张正方形纸，通过折叠可以形成一个立体四面体环，它的名字叫翻转六连粽。为什么是六连粽呢？请想一想粽子的形状，是不是一个四面体？6个四面体连在一起，像极了6个连在一起的粽子。是不是很酷？当然，不止可以折出六连粽，也可以折出八连粽哦！

此作品的学名是四面体旋转环，英文名字是Kaleidocycle，由一系列金字塔形状的四面体连接组成。它真正独特的地方是能够自由扭曲，无限翻转。这种结构跟莫比乌斯带有着异曲同工的美妙！每一个构成的四面体，棱和面都是固定不变的，在转动过程中并没有对它们产生挤压，或者使它们产生形变，但却可以灵活转动。

快来动手折一个翻转六连粽吧!

准备材料：3张正方形纸、1支笔

1

将正方形纸横向对折，展开

2

将划分出的左右两个长方形再次横向对折

3

将新长方形纵向对折，展开

4

将划分出的上下两个正方形分别纵向对折，展开

5

找到下图9个点，用一支没墨的笔，用力刻画出6条折痕线。重复步骤1-5，得到三个组件

6

将三个长方形组件依次插入到前一个的一半位置

7

形成环状

8

第8步具体操作请观看以下视频哦~

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翻转六连粽制作完成✔

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DRAGON BOAT

FESTIVAL

端

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午

/

啦

/

在制作完成后，

两手持作品，

双手同时扭转四面体，

从外侧向中心内侧转动，

会不断出现新的三角形面，

四次为一个周期，也可反向转动。

Tip: 为使作品耐玩，可在开口一侧粘贴胶膜加固哦~

在有条件的情况下，翻转六连粽还可以画上花纹，或者用印有图案的长方形纸带制作，将更富有趣味性。小编还在网络上发现了用串珠制作而成的翻转六连粽，简直是一个艺术品，迫不及待想和大家分享。

接下来，让小编带你欣赏一些大神作品~

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龙舟下水喜洋洋。

门插艾，香满堂；

吃粽子，挂香囊；

五月五，是端阳；返回搜狐，查看更多