微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

向量函数定义及其表示方式

k次可微函数

向量函数的泰勒公式

曲线的参数方程

案例：

案例：

案例：

案例：

这一节，我们研究空间曲线的基本理论，主要将研究刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量一曲率和挠率，以及研究空间曲线在一点邻近的近似形状，并找出决定空间曲线的条件.

案例：

计算公式：

接下来主法线，副法线

求基本向量

我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲的程度较大

由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.

曲率半径：

此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。当曲线在一点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大)，副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大。因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度

空间曲线的伏雷内公式

案例：

案例：

曲线在某点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状.

空间曲线论的基本定理指出，曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时，就会得到不同类型的曲线.例如，k=0时为直线，t=0时为平面曲线.在这部分我们对常见的曲线一一般螺线进行较为详细的讨论，这对于进一步了解曲线的理论是非常必要的.

一般螺旋线的性质：

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