相平面分析法是一个用来研究二阶系统的图示法，是由Henri Poincare在20~21世纪交替之际发明。基本概念很简单，就是在一个二阶动态系统的状态空间里生成一个对应于不同初始状态下的运动轨迹（一个被称之为相平面的二维平面），然后根据这个二维图像来考察轨迹的特征。通过这种方法，系统的稳定性以及其他运动特征可以通过图像直观地获得。本章我们的目标是通过这个相平面分析法逐渐熟悉非线性系统。

相平面分析法有一些有用的特征，首先，因为它是一种图示法，因此我们能够直观的观察到不同初值下系统的变化，不需要算出解析解。另外，该方法并不局限于弱非线性的系统，对于强非线性系统该方法一样适用。还有就是，自然界中有一类系统可以被等效为二阶系统，因此我们可以使用相平面分析法对其进行分析。相应的缺点也很明显了，就是它只适用于一阶和二阶系统，因为高阶的系统计算起来很困难也不直观。

首先，相平面分析法主要研究二阶系统的状态空间表达，有如下形式： 其中x1和x2是系统的状态，f1和f2是状态的非线性方程。几何上我们可以用x1和x2的值构成一个二维坐标平面，这个平面就被称为相平面。

以下是相图的定义：

如果给定一个初值x(0)=x0,方程2.1就定义了一个与t有关的方程x(t)。当时间t从0变化大无穷大，x(t)可以用相平面里的一个曲线表示，这样的一个曲线就叫做相平面轨迹。一系列由不同初值带来的相平面轨迹就构成了相图。

举个例子： 例2.1 下图展示了一个简单的无外力质量-弹簧系统 我们可以用下面这个公式表达： 如果该系统初始状态为x0，那么得到下面的解(咋得到的？知道的麻烦评论讲解下)： 通过简单变换消除 t 得到： 这代表了相平面的一个圆，对应于不同的初值x0，圆的半径也不一样。画出几个不同初值的圆，得到该质量弹簧系统的相图： 相平面分析法的厉害之处在于，一旦相图被画出来。系统对于不同初值的响应直接被展示在相图上，拿上面的例子来说，我们通过相图得知该系统既不收敛也不发散到无穷远处，而是绕着0位置处震荡，展示出了某种程度上的稳定性。

二阶系统可以表示为（式2.3）： 状态空间下表示为（其中x1=x，x2=x’）： 大多数实际情况下的系统，例如机械领域里的质量-弹簧-阻尼系统，电子领域里的电阻-电感-电容系统，都可以用上述形式来表达。一般情况下系统的相面方程用式2.3来表达，用x以及其导数分别作为两个坐标轴。用其他方式也不困难，正如例2.1展示的那样，本章我们将会演示一些其他坐标轴选择。

奇点是相平面分析法中一个重要的概念，一个奇点是相面的平衡点。由于平衡点的定义是系统可以一直停留的点，也就是状态在奇点处的导数等于0，即x’=0。因此根据式2.1有： 奇点的值可以通过f2=0得到。

对于一个线性系统，通常只有一个奇点，但对于非线性系统，经常有超过一个的孤立奇点

例2.2 考虑如下非线性系统 它的相图如下所示（这张图是怎么得到的？）： 我们发现该系统有两个奇点，一个在(0,0)处，一个在(-3,0)处。两个奇点附近系统有着不同的特征，前者轨迹一直在接近，后者轨迹则是在远离。

我们或许会好奇为什么叫做奇点。为了回答这个问题，我们来看一下相轨迹的斜率： 其中f1与f2都有确定的值，斜率因此也只有一个确定的值，这表明了相轨迹没有交叉。但是在奇点处，斜率变为0/0，斜率是不确定的，可能有很多轨迹相交于这一点，正是这斜率的不确定性定义了这里的“奇点”

奇点这个概念之所以重要，是因为通过研究奇点，我们能够获得很多关于系统的知识。事实上对于线性系统，奇点的特征直接决定了系统的稳定性。对于非线性系统，除了奇点之外，还有其他复杂的特征，比如极限环。我们会在2.3 2.4节细讲

要注意的是，尽管相平面分析主要是为了二阶系统服务，但它也可用于一阶系统： 原理概念都一样，只不过一阶系统的相轨迹只有一条，举个例子

例2.3 考虑如下一阶系统 令f2=0，那么 得到三个奇点 该系统只有一个相轨迹，相图如下： 箭头表示了系统的运动方向，这个很好理解：在x轴上方的向正方向运动，在下方的向负方向运动。可以从图中发现在x在±2范围内系统是稳定的。

如果能够得知相图具有某种程度的对称性，那么相图的绘制以及分析会得到极大的简化。比如说，如果相图只关于x1轴对称，那么我们只需要绘制一半即可，如果相图关于原点对称，那么只需要绘制四分之一。因此我们这里学习如何在开始绘制相图之前确定相图的对称性

通过上述的学习我们已知相图的斜率为： 那么