编号：A2016220

设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ $(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\left\{\begin{matrix}x= \cos ^{3} t;\\y = \sin ^{3} t.\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

由题可得：

$$y=\sqrt{1-x^{2}} \Rightarrow$$

$$x^{2} + y^{2} = 1. ①$$

$$\left\{\begin{matrix}x= \cos ^{3} t;\\y = \sin ^{3} t.\end{matrix}\right.(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})\Rightarrow$$

$$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1, (0 \leqslant x \leqslant 1). ②$$

通过上面的变形计算得到的式子 $①$ 和 $②$ 可知，式子 $①$ 是一个圆心位于坐标系原点，半径长度为 $1$ 的圆形。而且，虽然我们不容易直接画出式子 $②$ 的图像，但从 $\frac{2}{3} < 2$ 也可以得知，在同一个坐标系中，式子 $②$ 的图象一定位于式子 $①$ 图象的内部。

题中所给的两条曲线在坐标系中的示意图如图 01 所示，其中绿色的区域即为平面区域 $D$:

本题要求解的是平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积和表面积，其中：

图 01 中平面区域 $D$ 外侧的橙色曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体（半个球体）的三维示意图如图 02 所示：

绘制图 02 所用的 MATLAB 代码：

图 01 中平面区域 $D$ 内侧的蓝色曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的三维示意图如图 03 所示：

绘制图 03 所用的 MATLAB 代码：

经过前面的分析可知：

$$V = V_{1} – V_{2} \Rightarrow$$

$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi – \pi \int_{0}^{1} y^{2}(x) \mathrm{d}x ③ \Rightarrow$$

注：

[1]. 球体的体积计算公式为：$v = \frac{4}{3} \pi r^{3}$, 其中 $r$ 为半径。

$$V = \frac{2}{3} \pi – \pi \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin ^{3} t)^{2} \mathrm{d} (\cos ^{3} t) ④ \Rightarrow$$

注：

[1]. 当 $0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}$ 时，$1 \leqslant \cos ^{3} t \leqslant 0$, 也就是说，若 $\cos ^{3} t \in (0, 1)$, 则 $t \in (\frac{\pi}{2}, 0)$. 由于积分上下限的取值范围是由积分变量决定的，因此，$③$ 式到 $④$ 式的变化过程中，所涉及积分的积分上下限的变换方式为：$\int_{0}^{1} \Rightarrow \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}$.

$$V = \frac{2}{3} \pi – \pi \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin ^{6} t \cdot (- 3 \cos ^{2} t \sin t) \mathrm{d} t \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – 3 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{6} t \cdot (\cos ^{2} t \sin t) \mathrm{d} t \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – 3 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{7} t \cdot (\cos ^{2} t) \mathrm{d} t \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – 3 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{7} t \cdot (1 – \sin ^{2} t) \mathrm{d} t \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – 3 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin ^{7} t – \sin ^{9} t) \mathrm{d} t \Rightarrow$$

$$华里士点火公式 \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – 3 \pi (\frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} – \frac{8}{9} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}) \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – 3 \pi (\frac{16}{35} – \frac{8}{9} \cdot \frac{16}{35}) \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – 3 \cdot \frac{16}{35} \pi (1 – \frac{8}{9}) \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – 3 \cdot \frac{16}{35} \cdot \frac{1}{9} \pi \Rightarrow$$

$$V = \frac{2}{3} \pi – \frac{16}{105} \pi = \frac{18}{35} \pi.$$

$$S = S_{1} + S_{2} \Rightarrow$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \pi + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \pi \sin^{3} t \cdot \sqrt{x^{‘2}(t) + y^{‘2}(t)} \mathrm{d} t \Rightarrow$$

注：

[1]. 球体的表面积计算公式为：$s = 4 \pi r^{2}$, 其中 $r$ 为半径；

[2]. 表面积 $S_{2}$ 是由图 01 中区域 $D$ 外侧的橙色曲线绕 $x$ 轴旋转形成的旋转体的表面积，该橙色曲线的长度的微分为 $\sqrt{x^{‘2}(t) + y^{‘2}(t)} \mathrm{d} t$, 旋转所形成的旋转体某一位置的横截面周长为 $2 \pi r =$ $2 \pi \sin^{3} t \mathrm{d} t$, 其中，$r$ 表示横截面的半径。

$$S = 2 \pi + 2 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} t \sqrt{x^{‘2}(t) + y^{‘2}(t)} \mathrm{d}t \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + 2 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} t \sqrt{(-3 \cos ^{2} t \sin t)^{2} + (3 \sin ^{2} t \cos t)^{2}} \mathrm{d}t \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + 2 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} t \sqrt{(9 \cos ^{4} t \sin ^{2} t) + (9 \sin ^{4} t \cos ^{2} t)} \mathrm{d}t \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + 2 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} t \sqrt{9 \cos ^{2} t \sin ^{2} t (\cos ^{2} t + \sin ^{2} t)} \mathrm{d}t \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + 2 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} t \cdot 3 \cos t \sin t \mathrm{d}t \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + 6 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{4} t \cdot \cos t\mathrm{d}t \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + 6 \pi \int_{0}^{1} \sin^{4} t \mathrm{d} (\sin t) \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + 6 \pi \int_{0}^{1} A^{4} t \mathrm{d} (A) \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + 6 \pi \cdot \frac{1}{5} A|_{0}^{1} \Rightarrow$$

$$S = 2 \pi + \frac{6}{5} \pi = \frac{16}{5} \pi.$$