空间向量的基本定理

空间向量的基本定理

知识讲解

知识讲解

知识点一空间向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

梳理(1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量．

(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点．

知识点二空间向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．

梳理：(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．

(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.

典型例题

典型例题

考点一基底的判断

例1：（2021·河南）设,,，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③}，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点二用基底表示向量

例2：（2021·湖北十堰市）如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（）

A．B．

C．D．

考点三应用空间向量坐标表示解题

例3：（2020·黑龙江高二期末（理））是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）

A．B．C．D．

考点四空间向量在几何中运用

例4：（2021·常德市）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.

同步练习

同步练习

一、选择题

1.（2021·陕西渭南市）若、、为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

2.（2020·全国单元测试）设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（）

A．7 B． C．23 D．11

3.（2020·湖北省高二期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则它在下的坐标为（）

A．B．C．D．

4.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()

A.14,14,14 B.3

5．（2020·上海市七宝中学高三其他）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

6．（2020·全国单元测试）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（）

A． B． C． D．1

7．（2021·全国高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（）

A．1 B． C．2 D．

二、多选题

1．（2021·河北邢台市·高二开学考试）下列命题中，正确的命题有（）

A．是共线的充要条件

B．若则存在唯一