我们在第四篇中所探讨的，是平视的两种方体放置状态（平行透视和余角透视）。在平视中，最重要的透视特征就是：所有竖直线都是原线，没有灭点，不会收缩，保持平行。

有时候我们看到画面中地平线很高或者很低，有俯视和仰视的感觉，但其实还是平视，所有的竖直线都是原线，没有收缩没有灭点。如下图。

真正的仰视应该如下图：所有竖直于地面的线与玻璃板不再平行，所以相对于我们已经是与画面成角度的线了，它就有了自己的灭点，向上收缩：

俯视也是这样，竖直于地平面的线有了自己的灭点：

我们来更详细地说明这一点：

此图即为我们在前面的第四篇文章中探讨过的平视状态：平视有别于俯仰视的特征为：中视线与水平面是平行的，图中地面、AB方体顶面都是与中视线平行的水平面。此时画面与所有竖直线都平行，所有竖直线都是原线，不收缩，无灭点。

在我们低头俯视时，竖直线不再与我们平行，中视线也不再与水平面平行。

此时，根据立方体的放置状态，我们同样给这两种放置状态的立方体命名：A叫做平行俯视，B叫做余角俯视。

注意：此时地平面，相对于我们不再是水平面（尽管它是实际上的水平面），不再正对着我们，不再与视平面作为同一组平行的平面。地平面，以及与它平行的一切面，此时相对于我们是上斜的斜面，我们以下将用上斜斜面的处理方法处理它。上斜的斜面有它自己的灭线，有依附于它之上的各个平行线的灭点，地平面此时也就是如此。（我们把 地平面这个平面 它自己的灭线 称作地平线，别忘了）

仰视也同样如此：

此时的地平面，相对于我们便是下斜斜面。

在平视中，对 正对着我们的方体 有“竖直、水平、向 心点”三个透视方向；对 与我们成角度放置的方体有“竖直、余1点、余2点”三个透视方向。此时，地平面与视平面都是水平面，所以它们的灭线当然是同一条：地平线=视平线。

如今我们来看看俯视与仰视下，正对着我们的方体 与 成角度的方体 的透视方向。

首先是俯视的情况：

我们的作图框架还是不变的：心点、距点、视平面、画面一应俱全。此时，地平面相对于我们是上斜斜面，自然灭线在视平线之上。记住，无论如何，视平面就是我们的标准面，只有它能规定 各个面相对于我们是 上斜还是下斜还是有其他方向。空间中相对于视平面上斜的平面就是上斜斜面，地平面也不例外。

由我们前面的知识我们就知道：所有与视平面平行的线（平变线）的灭点就在 作为视平面的平面 的灭线（视平线）上。对视平面上斜方向的线，灭点就在视平线上方（过目点作它的灭点寻求线）；对视平面下斜方向的线，灭点就在视平线下方。（也就是说，视平线上方的灭点延伸出的点，无论它在画面上有多么“下斜”，它在现实中也是相对于视平面上斜的线，如下图）

以上都是前面的知识了。

再来看俯视的透视图：

图中方体顶面就是与地平面平行的面，它也是上斜面，它的边线灭点当然在地平线上。我们称平行俯视透视的方体的灭点为升心点、升余点。平行透视的方体边线，水平边②仍然是原线；向远方延伸的边③的灭点在地平线上的升心点处（心点上升到地平线上，也就是原来平视的原心点位置）。

为什么 向远方延伸的边 的灭点 在地平线上的升心点处？看左边的图，我们由目点作一与它平行的线（灭点寻求线），这线与地平面是平行的，它自然是与（始终在目点高度的）地平线相交，并且正好就在心点上方，也就是升心点处。

而方体竖直线①，相对于我们都是下斜斜线了。我们按照第五篇文章寻求斜面边线灭点的方法，作它的平行线，如上面的左图，由目点竖直向下垂的线与画面当然相交于画面上的心点垂线，这一点就是它的灭点（图中的降点）。

仰视时，地平面相对于我们是下斜斜面，方体顶面底面也当然是如此。

俯视中，一共有两组灭点，我们分两步分别求出两组灭点：第一组，首先根据俯视角度，过目点作水平的灭点寻求线，得到升心点（地平线上原来的平视的原心点）；过目点作竖直的灭点寻求线，寻求空间中所有竖直线的灭点，也就是降点。如下图：

俯视中，一共有两种放置状态的方体：平行放置的方体与余角放置的方体。

以上我们找到的升心点（地平线）、降点，它们是所有 水平地面远伸方向 与 竖直方向的灭点。升心点和降点算是我们作图框架的一部分，无论是平行放置的方体还是余角放置的方体都是在这个框架下的，它们的水平方向的所有边就被升心点/地平线统治，竖直方向的所有边就被降点所统治，从而它们这两个方向的透视已经确定了。

实际上，平行放置的方体横向边都是原线，因此它的透视形状 在升心点、降点确定后 就已经完全确定了：

第二组灭点，就是余角放置方体的两余点，如下图

因为方体顶面平行于地平面，因此依附于其上的边线灭点必然在顶面的灭线，也就是地平线上。我们把地平线上的余点称作“升余点”。余角俯视的方体，也仅仅只比平行俯视多了这两个余点而已，它的竖直方向仍然受降点统治，而在顶面的方向，由平行俯视的升心点“水平地分裂为了” 两个在地平线上的升余点1、2。

我们确定两升余点的方法，也同样是过目点，作方体顶面两边线④⑤的平行线，它们因为是水平线，一定交在画面上的地平线上，如图：

这样，我们就确定了任何一个 在俯视中放置在地面上的 方体 的各个灭点。有了各个灭点统治各个透视方向，方体的绘制也就确定了。

首先，我们来看看第一组的灭点（升心点和降点）的寻求方法，在玻璃板上如何等价地体现。

以向下俯视35°为例，这是我们现实中的寻求方法：

我们以下图的方法，将这个三角形旋转到纸面上：

目点如此旋转到纸面上的对应点，我们记为目1点。目1点就是专门为了寻求升心点和降点，在纸面上作出的目点的一种对应点。在图中目1点向上35°引出线，交在心点垂线上就是升心点；向下55°引出线（就是35°线在纸面上的垂线），交在心点垂线上就是降点。如图：

这样，我们就得到了在玻璃板上等价地寻求升心点和降点的方法。

注意到我们是以视距为半径旋转的，所以目1点的所在位置就是（视平线两侧的）距点的所在位置。

这一步完成时，你应该得到这样一幅简洁的T形图：

纵向的升心点降点这一对灭点找到了，就该找余角方体的两个升余点了：

这是我们现实中的作图框架

将红色的水平三角形向画面旋转：

将目点旋转到画面上的那一点，我们记为目2点。目2点就是我们专门为了寻求 图中那个40°/50°余角的方体 在地平线上的两个升余点，而将目点按照此方式旋转，在画面上的对应点。

自目2点（在画面上）左右引出40°/50°两线，在地平线上的交点 就是我们之前在现实中引的灭点寻求线 与地平线 的交点，也就是我们之前求出的升余1点和升余2点。

如何在玻璃板上就确定目2点的位置呢？我们之前不是有目1点吗（目1点与距点重合）？目2点与升心点的距离也同样是视距，并且在心点垂线上，那么我们从目1点取圆弧即可得到目2点。

完成上面的两升余点寻求后，你的T形图上再加两点：

由此，横纵所有的灭点都确定了，摆在地上的余角俯视方体也就不成问题了。之后就可以愉快地画方体啦~

我们之前说过，平视中的余角透视，作为方体顶面两边灭点的 两余点之间，位置呈反比关系，知道了余1点在左 \frac{1}{3} 处，余2点就在右3处。

事实上，升心点和降点之间、升余1点与升余2点之间，也同样有这种关系。不赘述。

除了反比关系以外，任何一对的灭点之间还有另外的关系：它们的灭点寻求线夹角为90°，是互相垂直的（因为方体的各个边线都是互相垂直的嘛）。

我们可以利用这个性质，得到远在画面之外的那个灭点的透视方向线。也就是说，我们已知了一个灭点，也就是已知了它与对应（引出它的灭点寻求线的那个画面上的）目点的灭线寻求线，作它的垂线就是另一个灭点的灭点寻求线，而这条灭点寻求线就是我们确定另一个灭点的透视方向的关键。

比如下图：

这是较大角度仰视的情况。仰视中，降心点与升点是一对灭点。红色的降心点在画面近处，而升点过远不便寻求，如何确定向升点方向的直线方向呢？

我们只需作降心点灭点寻求线的垂线，即可得到升点的灭点寻求线，它就是一条向升点方向的直线。

接下来，要确定其他向升点方向的直线，只需根据“等比例平行”的原理，把图上的两蓝线等分地连接，就可以得到一组向升点方向的直线。

再将绿线一侧的等分点复制到左侧即可。

两降余点也可以使用此方法，用已知的降余2点寻求降余1点：

这里介绍两个概念：距点和升距点。

现在的目点至现在的心点的距离就是现在的视距，是现在的距点所在：

升心与目1点的距离就是原视距，它作圆弧交在地平线上的两点，我们就称作“升距点”，这是原来平视时的距点。

看看我们的透视框架：

你就会明白：升距点就是在此目点平视的正常距点，它仍然是地平面上所有45°线的灭点。我们在下面取定（向心点的）透视深度时，会如同之前一样使用它。我们 升心点与现在目点 的距离，就是原视距。而它也等于 升心点与目1点 的距离，所以作圆弧就能得到 升距点。

同样的，平视时的测点此时只是变成了升测点，位置也没有变。只不过我们现在从余点出发量测点，需要用原视距，也就是 升心点与目1点 的距离。

我们现在来看看：平视（地平面与视平面平行），但方体斜置的状况。

这种情况其实和俯视没区别，我们照样作灭点寻求线，找到方体顶面边线的灭点（升点），竖边线的灭点（降点），方法也是把心点旁的距点作为目1点，向上a角引线交心点垂线就是升点，向下90°-a角就是降点。

现在我们测定方体各个边线的透视深度：我们假设这是所有边为1的正方体，那么所有透视方向深度都要同样地为1。横向水平边线们都是原线，很容易作出1长度；以下我们看 向升点方向的边线 与 向降点方向的边线。

同样地，升点也是灭点，要确定向升点方向的深度，就要用到升点对应的测点。升点与现实目点的实际距离 就等于 升点与图中目1点的距离。（PS 因为是平视，所以我们图中下方还标了一个“目点”以确定平视中其他平放在地面上的方块的各个参数，和我们这里的斜置方块没什么关系。它与升点的图上距离不是实际距离，想想现实中的框架就明白了）以这个距离作为半径作圆弧，交在它的灭线——心点垂线上就是它的测点，我们记为“升测点”。

升测点 就截断了所有 向升点方向的 深度。如下图，O向升点方向的蓝线，要在上面截出1的深度（OB长度=1），就把原线上的B与升测点连出红线，截断蓝线长度的就是1。

降点的测点寻求与升点一样，它们是一对灭点，就如同之前的余1点余2点一样。

降点的测点就被称为“降测点”，截断了向降点的深度：

从而，我们就作出了向升点和向降点的1深度，作出的方体也就是正方体了。

如此，我们就得到了 升点与降点这一对纵向上的灭点 的测点，向升点和向降点的深度也就确定了。接下来，我们来确定两个余点。

其实，因为我们现在是平视，所以方体向左右余点的方向的边线仍然是平行于地平面的，我们直接应用前面 找余1点和余2点的测点 的方法即可。这两个透视方向是我们已经讨论过的：

在俯视时，升心点和降点就是上面的升点和降点，寻求它们俩各自的测点的方法完全相同：

比如，要寻求图中方体向降点的透视深度，就如图确定降测点；

然后把原线AC=1连向降测点，截断C'点就是1深度的方体高。

因为图中的方体是平行俯视的姿势，因此确定它们向升心点的深度，仍然像平视一样，使用升距点（原来的距点，现在也依然是所有地平面上45°线的灭点）。

如图，就把长度为1的原线AB 放到了 向升心点的透视深度上。

当方体为余角姿势时，我们的作为平行透视灭点的升心点 就分裂为两个 升余点，它们也当然有自己的测点，来测定升余1点方向与升余2点方向的透视深度。

首先，我们由目2点引出两条40°/50°灭点寻求线，得到升余1点和升余2点。

然后，要寻求升余2点的透视深度，就寻求升余2点的测点，我们称为“升测2点”。寻求的方法就是：自（得到升余1与升余2的）目2点与升余2点作圆弧，交在地平线上就是升余2点的测点——升测2点。接下来我们就可以由它截断往升余2点方向的直线深度了。

得到升测2点，就能得到升余2点方向的深度了：

这样，俯视状态下，平放在地上的平行、余角方体，它们各个透视方向的深度就都确定了。

事实上，如果我们想要画正方体，用它的对角线来测定，使得两边相同，比上面的方法更方便。

对角线的寻求，首先要找到对角线的灭点。如图，在图中所有方体的放置角度都相同，对角线也都平行，我们只要找到它们对角线的灭点，从这个灭点引申出的所有直线就都是对角线方向的平行线，方体们各自的对角线也就好确定了。

要寻求这个方向的对角线灭点，在（生成了升余1点与升余2点的）目2点处（它就是方体顶面、余角的代表目点），在升余1与升余2的灭点寻求线之间，作一等分角线（注意，这里的“等分角”是直接在画面上等分角，不是在现实三维空间中的等分角）：

红色的等分角线与地平线的交点就是所有 方体对角线方向 的平行线的灭点。

利用对角线，我们就很容易得出顶面的正方形了。

同样地，如果我们想寻求右立面的对角线灭点，由统治右立面的目3点作等分角线即可：

综合运用以上知识，我们可以对各个角度的方体形状做一个大概的总结：

图1~7是俯视角度渐渐加大，为0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°的俯视特征。图中两个方块左边的是45°/45°的余角放置，右边的方块是平行放置。

其中0°就是平视，90°就是完全俯视，这不算我们以上讨论的斜俯视，算一种平视。我们要关注的，是15°~75°的斜俯视特征。

俯角渐渐增大，从微俯视到强俯视，

你再结合这张图看看：

再一次说明了一点：升心点、升距点、升余点都是原有0°平视时的作图框架，它们在我们开始俯视时虽然不再是心点、距点，但它们实际上完全不变，变的是心点、视平线、现有视距。

由以上两张图我们可以发现：升心点永远不变；降点在角度小时相当遥远，在角度大时近得趋近于目点。同时，视距在不断减小，但 升视距 完全不变。

我们介绍两种等分透视方向的线段的方法：

我们来等分下面的AB线

同样作【画面】的原线BC，因为AB在竖立面中，所以我们所作的BC也在 AB所依附的竖立面中，这个竖立面的灭线就是心点垂线。注意，BC即是平行于视平面的（因此是原线，可作量线），又是在AB所依附的平面上的。

现在我们把两个终端CA相连，这条线因为也在竖立面上，因此灭点在心点垂线上，因此它交于心点垂线就是它的灭点，我们把它的灭点叫做辅助灭点。

接着，我们等分量线BC，把它的各等分点引向辅助灭点，这些线就都是CA的平行线了，因此它们也等分了BA。

我们用同样的道理，把 量线DF 的分割比例复制到 透视方向的DE 上。连接两终端FE，在地平线上得到辅助灭灭点，把分割点引向辅助灭点即可。

当所要分割的线 依附的平面 的灭线离画面太远时，我们就很难把两终端线与灭线相交，找到辅助灭点。下面就是一个从矩形本身出发，不用灭线的方法：

如图，我们需要把这个处在俯视中的矩形的AB边作三等分。

自A点，引出与对面的边CD平行的边AE（这里的“平行”纯粹指画面上AE与CD是平行的），它就是我们的量线，尽管它不像前面的量线那样水平/垂直，它也是量线。

我们把两终端EB连线，交CD于F点。它就是我们的“辅助灭点”。

接下来把量线AE上的等分点引向“辅助灭点”F即可。AB由此被三等分。

再举一个例子：这次我们等分下图的DG线：

同样地作对面的边HI的（画面上的）平行线DJ，连接两终端JG，交HI于H点（刚好交在HI的端点H点上的J的位置比较方便）。

此时把量线DJ等分，引向H点即可等分DG。

第六篇：

iii：透视学（六）俯视仰视的斜面

专栏：

透视学