仿射变换（Affine Transformation）原理及应用

仿射变换（Affine Transformation）其实是另外两种简单变换的叠加：一个是线性变换，一个是平移变换

仿射变换变化包括缩放（Scale、平移(transform)、旋转(rotate)、反射（reflection,对图形照镜子）、错切(shear mapping，感觉像是一个图形的倒影)，原来的直线仿射变换后还是直线，原来的平行线经过仿射变换之后还是平行线，这就是仿射

仿射变换中集合中的一些性质保持不变： （1）凸性 （2）共线性：若几个点变换前在一条线上，则仿射变换后仍然在一条线上 （3）平行性：若两条线变换前平行，则变换后仍然平行 （4）共线比例不变性：变换前一条线上两条线段的比例，在变换后比例不变

一个集合 XX 的仿射变换为： f ( x ) = A x + b , x ∈ X f(x)=Ax+b, \quad x\in X f(x)=Ax+b,x∈X

仿射变换是二维平面中一种重要的变换，在图像图形领域有广泛的应用，在二维图像变换中，一般表达为： [ x ′ y ′ 1 ] = [ R 00 R 01 T x R 10 R 11 T y 0 0 1 ] [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} R_{00};R_{01};T_x \\ R_{10};R_{11};T_y \\ 0; 0; 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​R00​R10​0​R01​R11​0​Tx​Ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​

可以视为线性变换R和平移变换T的叠加

要熟练应用仿射变换，则需先理解仿射变换，说白了就是要弄清楚上面的R，T矩阵各个参数代表什么含义，用图像来表达：

不难想象，就是将x，y平移指定值，则R矩阵为单位矩阵，T矩阵为指定值，如上图中，第一行第二列图 M = [ 1 0 T x 0 1 T y 0 0 1 ] M=\begin{bmatrix} 1;0;T_x \\ 0;1;T_y \\ 0; 0; 1 \\ \end{bmatrix} M=⎣⎡​100​010​Tx​Ty​1​⎦⎤​

见图最后一行，如相对x轴放射，则x不变，y变为相反号 M = [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] M=\begin{bmatrix} 1;0;0 \\ 0;-1;0 \\ 0; 0; 1 \\ \end{bmatrix} M=⎣⎡​100​0−10​001​⎦⎤​

关于旋转矩阵，这里详细来看看，网上博客中，有朋友在疑惑旋转矩阵中， s i n θ sin\theta sinθ的负号位置问题，下面我谈谈我个人想法，若有错误请大家指点。为简单起见，只从一个点的旋转来看

(1) 左下角为坐标原点

根据简单三角关系，可知 { x = c o s α y = s i n α \begin{cases} x = cos\alpha\\ y = sin\alpha \end{cases} {x=cosαy=sinα​ 逆时针时： { x ′ = c o s ( α + θ ) = c o s α ∗ c o s θ − s i n α ∗ s i n θ = x ∗ c o s θ − y ∗ s i n θ y ′ = s i n ( α + θ ) = s i n α ∗ c o s θ + c o s α ∗ s i n θ = y ∗ c o s θ + x ∗ s i n θ \begin{cases} x' = cos(\alpha + \theta) = cos\alpha * cos\theta - sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta - y*sin\theta \\ y' = sin(\alpha + \theta) = sin\alpha * cos\theta + cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta + x*sin\theta \end{cases} {x′=cos(α+θ)=cosα∗cosθ−sinα∗sinθ=x∗cosθ−y∗sinθy′=sin(α+θ)=sinα∗cosθ+cosα∗sinθ=y∗cosθ+x∗sinθ​ 则，逆时针旋转矩阵 R ′ R' R′为: R ′ = [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] R'= \begin{bmatrix} cos\theta;-sin\theta\\ sin\theta;cos\theta\\ \end{bmatrix} R′=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

顺时针时： { x ′ ′ = c o s ( α − θ ) = c o s α ∗ c o s θ + s i n α ∗ s i n θ = x ∗ c o s θ + y ∗ s i n θ y ′ ′ = s i n ( α − θ ) = s i n α ∗ c o s θ − c o s α ∗ s i n θ = y ∗ c o s θ − x ∗ s i n θ \begin{cases} x'' = cos(\alpha - \theta) = cos\alpha * cos\theta + sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta + y*sin\theta \\ y'' = sin(\alpha - \theta) = sin\alpha * cos\theta - cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta - x*sin\theta \end{cases} {x′′=cos(α−θ)=cosα∗cosθ+sinα∗sinθ=x∗cosθ+y∗sinθy′′=sin(α−θ)=sinα∗cosθ−cosα∗sinθ=y∗cosθ−x∗sinθ​ 则，顺时针旋转矩阵 R ′ ′ R'' R′′为: R ′ ′ = [ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ] R''= \begin{bmatrix} cos\theta;sin\theta\\ -sin\theta;cos\theta\\ \end{bmatrix} R′′=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]

从上可以看出，这个负号位置问题，个人认为与旋转方向相关

（2）左上角为坐标原点

根据简单三角关系，可知 { x = c o s α y = s i n α \begin{cases} x = cos\alpha\\ y = sin\alpha \end{cases} {x=cosαy=sinα​ 逆时针时： { x ′ = c o s ( α − θ ) = c o s α ∗ c o s θ + s i n α ∗ s i n θ = x ∗ c o s θ + y ∗ s i n θ y ′ = s i n ( α − θ ) = s i n α ∗ c o s θ − c o s α ∗ s i n θ = y ∗ c o s θ − x ∗ s i n θ \begin{cases} x' = cos(\alpha - \theta) = cos\alpha * cos\theta + sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta + y*sin\theta \\ y' = sin(\alpha - \theta) = sin\alpha * cos\theta - cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta - x*sin\theta \end{cases} {x′=cos(α−θ)=cosα∗cosθ+sinα∗sinθ=x∗cosθ+y∗sinθy′=sin(α−θ)=sinα∗cosθ−cosα∗sinθ=y∗cosθ−x∗sinθ​ 则，逆时针旋转矩阵 R ′ R' R′为: R ′ = [ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ] R'= \begin{bmatrix} cos\theta;sin\theta\\ -sin\theta;cos\theta\\ \end{bmatrix} R′=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]

顺时针时： { x ′ ′ = c o s ( α + θ ) = c o s α ∗ c o s θ − s i n α ∗ s i n θ = x ∗ c o s θ − y ∗ s i n θ y ′ ′ = s i n ( α + θ ) = s i n α ∗ c o s θ + c o s α ∗ s i n θ = y ∗ c o s θ + x ∗ s i n θ \begin{cases} x'' = cos(\alpha + \theta) = cos\alpha * cos\theta - sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta - y*sin\theta \\ y'' = sin(\alpha + \theta) = sin\alpha * cos\theta + cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta + x*sin\theta \end{cases} {x′′=cos(α+θ)=cosα∗cosθ−sinα∗sinθ=x∗cosθ−y∗sinθy′′=sin(α+θ)=sinα∗cosθ+cosα∗sinθ=y∗cosθ+x∗sinθ​ 则，顺时针旋转矩阵 R ′ ′ R'' R′′为: R ′ ′ = [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] R''= \begin{bmatrix} cos\theta;-sin\theta\\ sin\theta;cos\theta\\ \end{bmatrix} R′′=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

从上可以看出，这个负号位置问题，不但与旋转方向有关，还与原点有关

（3）总结

getRotationMatrix2D函数

该函数是来计算仿射矩阵:

[ α β ( 1 − α ) ⋅ center.x − β ⋅ center.y − β α β ⋅ center.x + ( 1 − α ) ⋅ center.y ] \begin{bmatrix} \alpha ; \beta ; (1- \alpha ) \cdot \texttt{center.x} - \beta \cdot \texttt{center.y} \\ - \beta ; \alpha ; \beta \cdot \texttt{center.x} + (1- \alpha ) \cdot \texttt{center.y} \end{bmatrix} [α−β​βα​(1−α)⋅center.x−β⋅center.yβ⋅center.x+(1−α)⋅center.y​]

其中

α = scale ⋅ cos ⁡ angle , β = scale ⋅ sin ⁡ angle \begin{array}{l} \alpha = \texttt{scale} \cdot \cos \texttt{angle} , \\ \beta = \texttt{scale} \cdot \sin \texttt{angle} \end{array} α=scale⋅cosangle,β=scale⋅sinangle​

center：源图旋转中心

angle： 旋转角度，用角度表示；逆时针旋转为正（坐标原点设为左上角）

scale：各向同比缩放因子

源码

矩阵由来：首先将轴心(x,y)移到原点，然后做旋转缩放变换，最后再将图像的左上角转换为原点 M = [ 1 0 x 0 1 y 0 0 1 ] [ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] [ s 0 0 0 s 0 0 0 1 ] [ 1 0 − x 0 1 − y 0 0 1 ] M= \begin{bmatrix} 1 ; 0 ;x \\ 0;1 ; y\\ 0; 0 ;1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta ;sin\theta ;0 \\ -sin\theta ; cos\theta ; 0\\ 0 ; 0 ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s ; 0 ; 0\\ 0;s ; 0\\ 0 ;0 ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 ; 0 ; -x\\ 0 ; 1 ;-y \\ 0; 0 ; 1 \end{bmatrix} M=⎣⎡​100​010​xy1​⎦⎤​⎣⎡​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​s00​0s0​001​⎦⎤​⎣⎡​100​010​−x−y1​⎦⎤​

[1]仿射变换详解 warpAffine ：https://www.cnblogs.com/dupuleng/articles/4055020.html [2]仿射变换（Affine transformation）: https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/80498805 [3]opencv学习(三十五)之仿射变换warpAffine: https://blog.csdn.net/keith_bb/article/details/56331356