矩阵理论

2024-07-09 03:57| 来源: 网络整理| 查看: 265

特征值与特征向量

矩阵 A \mathbf A A的特征值与特征向量满足 A x = λ x \mathbf A\mathbf x=\lambda\mathbf x Ax=λx，即 ( A − λ I ) x = 0 (\mathbf A-\lambda\mathbf I)\mathbf x=0 (A−λI)x=0，且 x ≠ 0 \mathbf x\neq0 x=0

特征值： d e t ( A − λ I ) = 0 det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)=0 det(A−λI)=0的根，其中 p ( λ ) = d e t ( A − λ I ) p(\lambda)=det(\mathbf A-\lambda\mathbf I) p(λ)=det(A−λI)为特征多项式 A \mathbf A A全体所有特征值也称为 A \mathbf A A的谱，记为 λ ( A ) \lambda(\mathbf A) λ(A)特征向量： ( A − λ I ) x = 0 (\mathbf A-\lambda\mathbf I)\mathbf x=0 (A−λI)x=0的非零解，可见特征向量可能充满一整个子空间，该子空间就是零空间 N ( A − λ I ) N(\mathbf A-\lambda\mathbf I) N(A−λI)，称为特征子空间

不同特征值对应的特征子空间的交为{0}

相关的小技巧：若 A \mathbf A A的特征值为 λ \lambda λ，则 A − k I \mathbf A-k\mathbf I A−kI的特征值为 λ − k \lambda-k λ−k

代数重数与几何重数

首先注意，代数重数与几何重数的概念，都是针对某一个特征值 λ i \lambda_i λi而言的

将 n n n阶矩阵 A \mathbf A A的特征多项式写为 p ( t ) = det ⁡ ( A − t I ) = ( λ 1 − t ) β 1 ⋯ ( λ k − t ) β k p(t)=\operatorname{det}(A-t I)=\left(\lambda_{1}-t\right)^{\beta_{1}} \cdots\left(\lambda_{k}-t\right)^{\beta_{k}} p(t)=det(A−tI)=(λ1−t)β1⋯(λk−t)βk 其中， β 1 + β 2 + . . . β k = n \beta_1+\beta_2+...\beta_k=n β1+β2+...βk=n（ n n n阶多项式，有 n n n个根）

特征值 λ i \lambda_i λi的代数重数为 β i \beta_i βi ps. 代数重数也可以定义为 β i = d i m [ N ( ( A − λ i I ) n ) ] \beta_i=dim[N((\mathbf A-\lambda_i\mathbf I)^n)] βi=dim[N((A−λiI)n)]，见特征值的代数重数与几何重数特征值 λ i \lambda_i λi的几何重数为其特征子空间的维数，即 d i m [ N ( A − λ i I ) ] dim[N(\mathbf A-\lambda_i\mathbf I)] dim[N(A−λiI)]

对于任一特征值 λ i \lambda_i λi，几何重数

【本文地址】

矩阵理论

矩阵理论

今日新闻

推荐新闻