目录

一、引言

二、非线性回归模型的理论原理

三、数据准备

四、Stata 操作步骤

导入数据

绘制散点图观察数据关系

定义非线性回归模型

设定初始值

查看模型结果

五、代码运行结果及解释

非线性回归模型在许多领域都有着广泛的应用，例如生物学、经济学、物理学等。它能够捕捉到变量之间复杂的非线性关系，为我们提供更准确的模型拟合和预测。在本文中，我们将介绍非线性回归模型的理论原理，并通过 Stata 软件进行实际操作演示。

对于指数函数这样的非线性模型，直接通过最小二乘法求解参数可能比较困难，因为残差平方和关于参数不是线性的。此时，可能需要使用迭代算法，如牛顿-拉夫逊法或梯度下降法，来逐步逼近最优的参数值。

最大似然估计则是基于数据的概率分布假设来估计参数。对于非线性模型，同样需要通过数值方法求解最大似然函数。

再比如幂函数关系  ，或者对数关系  等，它们都有各自特定的数学形式和参数意义，通过合适的参数估计方法来确定最佳的参数值，以拟合数据并描述变量之间的非线性关系。

总之，非线性回归模型的理论原理在于通过合理选择函数形式，并运用适当的参数估计方法，来准确捕捉变量之间复杂的非线性依赖关系，从而为分析和预测提供更精确的模型。例如，在生物学中，研究种群增长时可能会用到指数模型；在经济学中，分析生产函数时可能会用到幂函数模型。这些实际应用都充分体现了非线性回归模型的重要性和实用性。

为了演示非线性回归模型在 Stata 中的操作，我们使用一份虚构的数据集，假设我们要研究销售额（sales）与广告投入（advertising）之间的关系，数据如下：

上述代码使用 import delimited 命令导入名为 data.csv 的数据文件，并使用 clear 选项清除当前内存中的数据。

通过绘制散点图，我们可以初步观察销售额与广告投入之间的大致关系，判断是否存在非线性趋势。如果散点图呈现出明显的曲线形状，而非直线，那么就暗示可能需要使用非线性回归模型。

假设我们认为销售额与广告投入之间存在指数关系，模型可以定义为：

在 Stata 中，我们可以使用 nl 命令进行非线性回归估计：

解释代码 在上述代码中，sales = {b0} * exp({b1} * advertising) 定义了非线性模型的表达式，{b0} 和 {b1} 是待估计的参数。Stata 会通过迭代算法来寻找最优的参数值，使得模型能够最好地拟合数据。

在进行非线性回归时，有时需要为参数提供初始值，以帮助算法更快地收敛到最优解。例如：

这里我们为 b0 初始化为 10，为 b1 初始化为 0.1。初始值的选择可以根据对数据的初步理解和经验来确定，但不是必须的，如果不提供，Stata 会使用默认的初始值。

运行非线性回归后，可以使用以下命令查看结果的详细信息：

这将展示参数估计值、标准误差、t 值、p 值等统计量。

模型诊断 为了评估模型的拟合效果，可以进行以下操作：

绘制残差图：

观察残差是否随机分布，以判断模型是否满足假设。

进行预测：

然后将预测值与实际值进行比较，评估模型的预测能力。

模型比较 如果考虑多个非线性模型，可以通过比较不同模型的拟合优度（如 AIC、BIC 等指标）来选择最优模型。例如：

以获取 AIC 和 BIC 等信息。

运行模型后，得到的结果可能如下：

| Parameter | Estimate | Std. Err. | t | P>|t| | 95% Conf. Interval | |-----------|----------|-----------|----|------|----------------------| | b0 | 50.00 | 10.00 | 5.00 | 0.001 | [30.00, 70.00] | | b1 | 0.05 | 0.01 | 5.00 | 0.001 | [0.03, 0.07] |

参数 b0 的估计值为 50.00，标准误差为 10.00。t 值为 5.00，对应的 p 值为 0.001，在显著水平为 0.05 的情况下，该参数显著不为零。这意味着 b0 对销售额有显著影响。95%的置信区间为 [30.00, 70.00]，表示我们有 95%的把握认为 b0 的真实值落在这个区间内。

参数 b1 的估计值为 0.05，标准误差为 0.01，t 值为 5.00，p 值为 0.001，同样显著不为零。b1 反映了广告投入对销售额影响的程度。其 95%的置信区间为 [0.03, 0.07]，表明我们有较高的置信度认为 b1 的真实值在这个范围内。

我们还可以查看一些其他的统计量，比如拟合优度指标 R-squared （如果适用）：

假设得到的 R-squared 值为 0.85，这表示模型能够解释销售额变异的 85%，说明模型具有较好的拟合效果。但需要注意的是，对于非线性模型，R-squared 的解释和在线性模型中可能会有所不同。

此外，我们可以进一步分析残差的分布情况：

如果残差呈现近似正态分布，且没有明显的趋势或聚集，这通常表明模型的设定是合理的。

例如，如果残差的直方图大致对称，均值接近零，这是一个良好的迹象。但如果残差存在明显的偏态或峰度异常，可能需要重新考虑模型的形式或对数据进行进一步的处理。

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【机器学习笔记（2）】—— 非线性回归模型 (qq.com)https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=Mzg4NDYxOTc5MA==&mid=2247484082&idx=1&sn=05fd5294c8f476324ef84faaf782497f&chksm=cfb42dd3f8c3a4c575f8a516073369d60dc852233b7d6fb595c30485ef2cd6342857a246d56e#rd