数学分析

2023-11-12 03:16| 来源: 网络整理| 查看: 265

关于e的极限

\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac{1}{x} = 1\), or: \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x = 1\) 证明：

对于数列形式，单调上升（前项比后项小）且有上界（可以取4证明），用均值不等式可证明。进一步，对于函数形式，可以放缩（对x取下界），用夹迫性证明。注意，对于函数形式，\(\infty\) 是指同时在 \(+\infty, -\infty\) 收敛。

由无穷小的等价代换，可得结论：

若有：\(\alpha (x) \rightarrow 0, \beta (x) \rightarrow \infty\) 且能求得 \(\alpha(x) \beta(x) \rightarrow A\)，即\(\alpha(x), \beta(x)\) 同阶，\(\beta(x)\)可被等价代换则有：\(\lim\limits_{x} (1 + \alpha(x))^{\beta(x)} = A\) 关于三角函数的极限

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1\) 证明：单位圆中，\(\sin(x) < x < \tan(x)\), 故\(\cos(x) < \frac{sin(x)}{x}< 1\), 由夹迫性可证。

关于指数的极限

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1\) 证明提示：\(\sqrt[n]{n} = e^{\frac{\ln(n)}{n}}\)

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