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高阶导数归纳法

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高阶导数归纳法

2023-11-10 13:50| 来源: 网络整理| 查看: 265

考研要求 一、主要内容及考研要求

1. 高阶导数的概念(掌握、重点)；

2. 简单函数的高阶导数(掌握：数学归纳法、莱布尼茨公式)； 二、考研必做习题 同济6版《高等数学》习题2-3: 2(9)，3(3)，6(9)、(10)，7(8)，8(4)，9，10(2)，11(4)(9)；

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一、高阶导数的概念

引例: 变速直线运动S= s(t)

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2.二阶导数的力学意义

若x表示时间变量，f(x)表示物体作直线运动时的路程函数,则f"(x)是物体的加速度函

数.

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类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数,分别记作

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注意：上述公式中μ≥n.

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二、高阶导数的运算法则

莱布尼茨(Leibniz) 公式:

设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数,则

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内容小结 高阶导数(n阶导数)的求法: 对给定的函数y = f(x) , 我们可逐阶求导法求出高阶导数. 对某些函数如何求出n阶导数表达式? 常用如下方法: 方法1(归纳法): 先逐一求出y=f(x)的一、二、三阶导数等,若能观察出规律性,就可写出y(n)的公式,然后用数学归纳法证明;  方法2(分解法): 通过恒等变形将函数f(x)分解成f(x)=f1(x) +f2(x). 若能求 f1(x) 与f2(x)的n阶导数, 则f1(x) 与f2(x)的n阶导数就为f(x) 的n阶导数. 方法3(莱布尼茨公式)：

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方法4(利用初等函数的n阶导数公式) 常用的高阶导数公式：

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思考与练习：如何求下列函数的 n 阶导数?

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