同样很多收敛性的证明不是重点，但里面的知识还是需要适当掌握，知道中间的大致思考和解决路径即可。

 本质还是极限的可交换性，求导可以换到积分里面去操作。

这里要注意变量的区别，首先积分的被积变量是x，但是函数的变量是y，y是参数，所以叫做带参数的积分。

这是一个很有意思的题，首先我们不好求积分的时候，可以先对里面的参变量进行求导。得到一个简单的式子，然后再积分即可。

 这是积分的可交换性。

要反常积分收敛，就是说要在无界的部分，积分足够小。

 我们要证明在足够大的情况下，这个积分是很小的。

 各种可交换。一般我们认为大部分能列出来的都是可交换的。

反常积分的技巧真是千奇百怪。

还是各种可交换。

终于开始讲卷积了。物理中的卷积，是针对输入信号f，通过一个仪器的算子A，变成输出信号。如果A是一个平移变算子，也就是时间推移后，依然产生完全一样的信号，只是t不同。

 要根据输入信号来求输出信号。要根据输出信号反推输入信号。一般来说，只要知道仪器对脉冲的响应，就可以知道所有它对其他信号的响应。

 重点来了，我们一个普通的信号f，可以看成分段函数，而当分段趋于无穷的时候，分段函数就趋于f，而这个分段函数，可以用脉冲函数求和来表示。这个真是太秒了。原来是这么理解的。

 因为算子是线性的，所以可以把A挪进去。最后我们得到了一个卷积的公式。所以我们第一个问题得到了解决，为什么知道脉冲函数的响应，就能知道所有其他函数的响应。通过卷积即可。而这个卷积很有意思，首先它引入了两个未知变量，其中一个是被积变量，而另一个是参变量。一般，我们可以认为，对于原始函数f(t),我们通过引入了一个脉冲函数，实际也引入了一个额外的时间平移变量。这个引入的时间平移变量，是最终会被积分的。而t本来就是原始函数的变量。

这样，我们就定义了一个更加一般的卷积。

这些都是卷积的重要性质。

 这也是一个很重要的例子，我们一个函数和一个脉冲函数卷积，会取到一个平均的作用。

显然，如果alpha趋向于0，那么自然这个积分就是f(y)了。因为积分就是面积，面积除以底，那自然就是高了。

 这个的意思是说，一些函数可能不是无限次可微的，那么我们把它和某个 特定的函数卷积后，就可以得到一个无限次可微的函数，而且他是逼近原始函数的。

这个也很吊，可以用多项式逼近所有区间上的连续函数。

 这里要注意，我们用了卷积，自然就会引入一个新的被积变量，它应该是看成一个常数。

所有周期函数都可以用cos sin来逼近。

后面含参变量的重积分也是各种可交换，就不提了。