概论

2024-04-07 20:50| 来源: 网络整理| 查看: 265

一. 定义 1. 一维离散型随机变量的期望

2. 一维连续型随机变量的期望

定义2：设连续型随机变量 X的概率密度为f(x), 若积分绝对收敛，称其为X的数学期望。记为：

注意：被积函数是： xf(x)

容易得出，连续型求期望E(X)，极可能用到定积分的分部积分法！！

再次强调此法：

看例题:

几种重要分布的数学期望参考概率论_第4章__几种重要的随机变量的分布及其数字特征的表

3. 一维随机变量函数的期望

4. 二维随机变量的期望

5. 二维随机变量函数，求期望是这样做：

对于二维离散型随机变量，先求分布律再按定义求数学期望，要比直接使用上面公式简单。

其他情况都直接采用公式而不计算新的分布律、密度函数。

二期望的性质

以下公式中C为常数, X、Y为随机变量

1. E(C) = C

2. E(CX) = C·E(X)

3. E(X+Y) = E(X) + E(Y),

上述可以推广为多个随机变量相加；

可以推广： E(C₁X+C₂Y) = C₁E(X)+C₂E(Y)，其中 C₁, C₂为常数

4. 若X, Y是相互独立的随机变量，则 E(XY) = E(X)E(Y).

此公式可以推广：任意有限个独立的随机变量相乘。

三光说不练是假把式，看例题题1

一银行服务需要等待，设等待时间X (以分钟计) 服从期望为 10 的指数分布，某人进了银行，且打算过会去办另一件事，于是先等待，如果超过15分钟还没有等到服务就离开，设他实际的等待时间为 Y, 求此人实际等待的平均时间 E(Y).

解由题意知，Y = min{X, 15}, 设 g(x) = min{x, 15}, 则 Y=g(X),

根据连续型随机变量函数的期望的定义：

又因为：

题2

设X的概率密度为，求E[ |X-E(X)| ].

解:

注意：本题需要求一个期望值，随机变量是一个绝对值，我们先求出E(X), 要明白X- 在计算时可以看成 x- , 有的人看到 X-就慌了， X- 应该怎样处理呀？

实际只要看成 x- 就行了。

因为密度函数是一个分段函数，求期望E(X) 要分段计算，再求和。

解题过程如下 ${\color{Black} E(X)=\int_{-\infty }^{+\infty}xf(x)dx = \int_{0}^{1}x^{2}dx+\int_{1}^{2}x(2-x)dx = \frac{1}{3}+4-1-\frac{1}{3}(8-1) =1}$

E[|X-E(X)|] = E[|X-1|] =

${\color{Black} \int_{0}^{1}x|x-1|dx + \int_{1}^{2}|x-1|(2-x)dx =\int_{0}^{1}x(1-x)dx + \int_{1}^{2}(x-1)(2-x)dx} =\frac{1}{3}$

~~~~~~

四随机变量的期望不是必然存在，因为求期望是通过求无穷级数或广义积分，就存在是否收敛的问题。

只有无穷级数或者广义积分收敛，期望才存在。

看一个例题

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