\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\) 【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019） \({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)

选择性必修第一册同步巩固，难度2颗星！

经过两点\(P_1 (x_1,y_1 )\),\(P_2 (x_2,y_2 )\)(其中\(x_1≠x_2,y_1≠y_2\))的直线的方程是 \(\dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 解释 ① 证明：当\(x_1≠x_2\)时，经过两点\(P_1 (x_1,y_1 )\),\(P_2 (x_2,y_2 )\)的直线斜率 \(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)， 再取点\(P_1 (x_1,y_1 )\)，由点斜式可得 \(y-y_{1}=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)\)； 当\(y_1≠y_2\)时，可得 \(\dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\). ② 在\(P_1 (x_1,y_1 )\),\(P_2 (x_2,y_2 )\)中，如果\(x_1=x_2\)或\(y_1=y_2\)，则直线\(P_1 P_2\)没有两点式; ③ 两点式从代数的角度明确了”两点确定一直线”的事实.  

【例】 利用两点式求过点\(A(0,1)\)和\(B(1,2)\)的直线方程. 解析 直线方程为 \(\dfrac{y-1}{2-1}=\dfrac{x-0}{1-0}\)，化简为\(y=x+1\).  

我们把 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)(其中\(a\)，\(b\)分别是直线在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距且\(a≠0,b≠0\))叫做直线的截距式方程，简称截距式. 解释 ① 证明：因为直线\(l\)与\(x\)轴的交点为\(A(a,0)\)，与\(y\)轴的交点为\(B(0,b)\)， 由两点式可得 \(\dfrac{y-0}{b-0}=\dfrac{x-a}{0-a}\)，即 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\). ② 使用截距式的前提是直线\(x\)轴、\(y\)轴上的截距均不为\(0\).  

【例】 求经过点\(A(0,2)\)和\(B(-1,0)\)的直线方程. 解析 直线的截距式方程为 \(\dfrac{x}{-1}+\dfrac{y}{2}=1\)，化简为\(y=2x+2\).  

【典题1】 已知\(△ABC\)的三个顶点\(A(1,1)\)，\(B(-2,-1)\)，\(C(3,－3)\)，求\(△ABC\)三条边所在的直线方程和\(AB\)边的中线所在直线的方程． 解析 由两点式方程，得直线\(AB\)的方程是 \(\dfrac{y-1}{-1-1}=\dfrac{x-1}{-2-1}\) 整理，得\(2x－3y+1=0\)． 直线\(BC\)的方程是 \(\dfrac{y+1}{-3-(-1)}=\dfrac{x+2}{3-(-2)}\)， 整理，得\(2x+5y+9=0\)， 直线\(AC\)的方程是 \(\dfrac{y-1}{-3-1}=\dfrac{x-1}{3-1}\)，整理，得\(2x+y－3=0\)． 设\(AB\)的中点\(D(x,y)\)，则 \(x=\dfrac{1-2}{2}=-\dfrac{1}{2}\), \(y=\dfrac{1-1}{2}=0\)， \(∴\)点\(D\)的坐标为 \(\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)\)． \(∴\)直线\(CD\)的方程为 \(\dfrac{y-0}{-3-0}=\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{3-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)， 整理，得\(6x+7y+3=0\)． 因此\(△ABC\)三边\(AB\)，\(BC\)，\(AC\)及中线\(CD\)所在的直线方程分别是 \(2x－3y+1=0\)，\(2x+5y+9=0\)，\(2x+y－3=0\)，\(6x+7y+3=0\)．  

【典题2】已知直线\(l\)经过点\((2,1)\)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线\(l\)的方程． 解析 方法一 设直线\(l\)在两坐标轴上的截距均为\(a\)， 若\(a≠0\)，则l的方程可设为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1\)． 又\(∵l\)过点\((2,1)\)，代入 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1\)，得\(a=3\)， ∴直线\(l\)的方程为 \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}=1\)，即\(x+y-3=0\)． 若\(a=0\)时，\(l\)过点\((0,0)\)与\((2,1)\)， \(∴l\)的斜率 \(k=\dfrac{1}{2}\)， \(∴\)直线\(l\)的方程为\(y=\dfrac{1}{2} x\)，即\(x-2y=0\)． \(∴\)直线\(l\)的方程为\(x+y-3=0\)或\(x-2y=0\)． 方法二 由题意可知直线\(l\)的斜率存在且不为\(0\)． 设过点\(A(2,1)\)的直线方程为\(y-1=k(x-2)(k≠0)\)． 令\(x=0\)，则\(y=1-2k\)； 令\(y=0\)，则 \(x=2-\dfrac{1}{k}\)． 由已知条件，得 \(1-2 k=2-\dfrac{1}{k}\)，解得\(k=-1\)或\(k=\dfrac{1}{2}\)． \(∴\)所求直线的方程为\(x+y-3=0\)或\(x-2y=0\)．  

1.直线经过点\((-2,0)\)和\((0,3)\)，则直线的方程为(　　)  A． \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{3}=1\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-3}=1\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}=1\)  

2.过两点\((5,0)\)，\((2,-5)\)的直线的方程是(　　)  A．\(5 x+3y-25=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(5x-3y-25= 0\) \(\qquad \qquad\) C．\(3x-5y-25=0\) \(\qquad \qquad\) D．\(5x-3y+25= 0\)  

3.梯形\(ABCD\)四个顶点坐标分别为\(A(－5,1)\)，\(B(1,－3)\)，\(C(4, 1)\)，\(D(1,3)\)．求该梯形中位线所在直线的方程．  

4.已知直线\(l\)与\(x\)轴，\(y\)轴分别交于\(A\),\(B\)两点，且线段\(AB\)的中点为\(P(4,1)\)，求直线\(l\)的方程．  

5.求过点\(P(2,3)\)且在\(x\)轴上的截距是在\(y\)轴上截距的\(2\)倍的直线方程．  

参考答案

答案 \(B\)

答案 \(B\) 解析 由两点式得 \(\dfrac{y-0}{x-5}=\dfrac{0+5}{5-2}\)，化简得\(5x-3y-25= 0\)，故选\(B\).

答案 \(2x+3y－2=0\) 解析 \(\because k_{A B}=-\dfrac{2}{3}\), \(k_{C D}=-\dfrac{2}{3}\)， \(∴AB∥CD\) 又\(AD\)中点\(M(－2,2)\)，\(BC\)中 点 \(N\left(\dfrac{5}{2},-1\right)\)， 由直线的两点式方程得梯形的中位线\(MN\)所在直线方程为 \(\dfrac{y-2}{-1-2}=\dfrac{x+2}{\dfrac{5}{2}+2}\)， 化简得\(2x+3y－2=0\)．

答案 \(x+4y－8=0\) 解析 由题意可设\(A(x,0)\)，\(B(0,y)\)， 由中点坐标公式可得 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+0}{2}=4 \\ \dfrac{0+y}{2}=1 \end{array}\right.\)解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=8 \\ y=2 \end{array}\right.\) \(∴A(8,0)\)，\(B(0,2)\)． 由直线方程的截距式得l方程为 \(\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}=1\)，即\(x+4y－8=0\)．

答案 \(x+2y-8=0\)或\(3x-2y=0\) 解析 方法一：设直线在\(y\)轴上的截距为\(b\)，则在\(x\)轴上的截距为\(2b\)． 若\(b=0\)，则直线过\((0,0)\)与\((2,3)\)点，则其方程为\(3x-2y=0\)． 若\(b≠0\)，则设其方程为 \(\dfrac{x}{2 b}+\dfrac{y}{b}=1 \text {, }\)，又\(∵\)过点\((2,3)\)， \(\therefore \dfrac{2}{2 b}+\dfrac{3}{b}=1\)，即\(b=4\)． \(\therefore \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}=1\)，即\(x+2y－8=0\)． 综上，所求直线方程为\(3x-2y=0\)或\(x+2y-8=0\)． 方法二：由题意知直线的斜率存在且不为\(0\)． 设过点\(P\)的直线方程为\(y-3=k(x-2)\)． 由\(x=0\)得\(y=3－2k\)；由\(y=0\)得 \(x=2-\dfrac{3}{k}\)． 由已知条件，得 \(2-\dfrac{3}{k}=2(3-2 k)\)，解得 \(k=-\dfrac{1}{2}\)或 \(k=\dfrac{3}{2}\)． 所以所求直线方程为\(3x-2y=0\)或\(x+2y-8=0\)．  

【典题1】 过点\(P(2,1)\)作直线\(l\)分别与\(x,y\)轴正半轴交于\(A\)、\(B\)两点．   (1)当\(△AOB\)面积最小时，求直线\(l\)的方程；   (2)当\(|OA|+|OB|\)取最小值时，求直线\(l\)的方程． 解析 设\(A(a,0)\)，\(B(0,b)(a,b>0)\)． (1)设直线方程为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)， 代入\(P(2,1)\)得 \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1 \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2}{a b}}\)， 得\(ab⩾8\)，从而 \(S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 4\)，此时 \(\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}, k=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{2}\) \(∴\)方程为\(x+2y-4=0\)． (2) \(a+b=(a+b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1\right)=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geqslant 3+2 \sqrt{2}\)， 此时 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2 b}{a}\), \(k=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)． \(∴\)方程为 \(x+\sqrt{2} y-2-\sqrt{2}=0\)．  

1.若直线过点\((1,1)\)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为\(2\)，则这样的直线有(　　)  A．\(1\)条 \(\qquad \qquad\) B．\(2\)条 \(\qquad \qquad\) C．\(3\)条 \(\qquad \qquad\) D．\(4\)条  

2.过点\(M(2,1)\)作直线\(l\)，分别交\(x\)轴、\(y\)轴的正半轴于点\(A\),\(B\)，若\(△ABO\)的面积\(S\)最小，试求直线\(l\)的方程．  

参考答案

1.直线 \(\dfrac{x}{a^{2}}-\dfrac{y}{b^{2}}=1(a b \neq 0)\)在\(y\)轴上的截距是( 　　)   A．\(a^2\) \(\qquad \qquad\) B．\(-b^2\) \(\qquad \qquad\) C．\(|a|\) \(\qquad \qquad\) D．\(b^2\)  

2.过点\(P_1 (-2,0)\),\(P_2 (1,3)\)的直线方程是(　　)  A．\(y=-x+1\) \(\qquad \qquad\) B．\(y=-3x-6\) \(\qquad \qquad\) C．\(y=x+2\) \(\qquad \qquad\) D．\(y=-x-2\)  

3.过点\((－2,0)\)且在两坐标轴上的截距之差为\(3\)的直线方程是(　　)  A． \(\dfrac{x}{-2}+y=1\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) B． \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1\)  C． \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-1}=1\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) D.\(\dfrac{x}{-2}+y=1\)或\(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1\)  

4.直线 \(\dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{3}=1\)与坐标轴围成的三角形的面积为\(\underline{\quad \quad}\)．  

5.经过点\(A(－2,3)\)，且在两坐标轴上的截距之和为\(2\)的直线的方程为\(\underline{\quad \quad}\)．  

6.已知点\(P(b,a)\)，直线 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1(a≠b)\)与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于\(A\)、\(B\)两点．设直线\(PA\)、\(PB\)、\(AB\)的斜率分别为\(k_1\),\(k_2\),\(k_3\)．   (1)当\(a=2\),\(b=1\)时，求\(k_1 k_2 k_3\)的值；   (2)求证：不论\(a,b\)为何实数，\(k_1 k_2 k_3\)的值都为定值．      

参考答案

1.已知直线\(l\)与\(x\)轴，\(y\)轴分别交于\(A\),\(B\)两点，且线段\(AB\)的中点为\(P(4,1)\)，求直线\(l\)的方程．  

2.过点\(P(2,4)\)作直线\(l\)分别与\(x,y\)轴正半轴交于\(A\)、\(B\)两点．   (1)当\(△AOB\)面积最小时，求直线\(l\)的方程；   (2)当\(|OA|+|OB|\)取最小值时，求直线\(l\)的方程．    

参考答案

答案 \(x+4y－8=0\) 解析 由题意可设\(A(x,0)\)，\(B(0,y)\)， 由中点坐标公式可得 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+0}{2}=4 \\ \dfrac{0+y}{2}=1 \end{array}\right.\)解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=8 \\ y=2 \end{array}\right.\) \(∴A(8,0)\)，\(B(0,2)\)． 由直线方程的截距式得\(l\)方程为 \(\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}=1\)，即\(x+4y－8=0\)．

答案 (1)\(y=-2x+8\) (2) \(y=-\sqrt{2} x+2 \sqrt{2}+4\) 解析 设\(A(a,0)\)，\(B(0,b)(a,b>0)\)． (1)设直线方程为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)， 代入\(P(2,1)\)得 \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}=1 \geqslant 4 \sqrt{\dfrac{2}{a b}}\)， 得\(ab⩾32\)，从而 \(S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 16\)，此时 \(\dfrac{2}{a}=\dfrac{4}{b}\), \(k=-\dfrac{b}{a}=-2\) \(∴\)方程为\(y-4=-2(x-2)\),即\(y=-2x+8\)． (2)\(a+b=(a+b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}\right)=6+\dfrac{4 a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geqslant 6+4 \sqrt{2}\)， 此时 \(\dfrac{4 a}{b}=\dfrac{2 b}{a}\), \(k=-\dfrac{b}{a}=-\sqrt{2}\)． \(∴\)方程为 \(y-4=-\sqrt{2}(x-2)\)，即 \(y=-\sqrt{2} x+2 \sqrt{2}+4\)．  

1.直线\(l\)通过点\(P(1,3)\)且与两坐标轴的正半轴交于\(A\),\(B\)两点．   (1)直线\(l\)与两坐标轴所围成的三角形面积为\(6\)，求直线\(l\)的方程；   (2)求\(OA+OB\)的最小值；   (3)求\(PA⋅PB\)的最小值．  

参考答案