2

2

y

x

B

，则

2

1

2

1

(

,

)

AB

x

x

y

y







。

二、讲解新课：

1.

平面向量长度的计算公式的推导：

如图，已知

1

2

(

,

)

a

xe

ye

x

y







，则

1

1

xe

x

e

x







，

1

2

1

2

ye

y

e

y







,

由勾股定理得

,

2

2

2

2

a

x

y

x

y









,

上式即为根据向量

a

的坐标

,

求向量

a

的长度的计算公式，简称向量长度的计算公式。

如果已知

1

1

(

,

)

A

x

y

,

)

,

(

2

2

y

x

B

,

则有向量

2

2

1

1

2

1

2

1

(

,

)

(

,

)

(

,

)

AB

OB

OA

x

y

x

y

x

x

y

y















所以

,

2

2

2

1

2

1

(

)

(

)

AB

x

x

y

y









. 

上式即为根据向量

AB

的坐标

,

求向量

AB

的长度的计算公式，也称为向量长度的计算公式，又称为两点

间的距离公式。

2.

线段中点的坐标公式的推导

:

方法一

:

设线段

AB

的两个端点

)

,

(

1

1

y

x

A

,

)

,

(

2

2

y

x

B

,

线段

AB

的中点

(

,

)

C

x

y

,

则

1

1

1

1

(

,

)

(

,

)

(

,

)

AC

OC

OA

x

y

x

y

x

x

y

y















，

2

2

2

2

(

,

)

(

,

)

(

,

)

CB

OB

OC

x

y

x

y

x

x

y

y















,

又

C

为线段

AB

的中点

,

因此

AC

CB



,

于是

1

2

1

2

x

x

x

x

y

y

y

y



















,

得

1

2

1

2

,

.

2

2

x

x

y

y

x

y









这就是线段

AB

的中点

C

的坐标计算公式

,

简称中点公式。

方法二

:

如图

,C

为线段

AB

的中点，所以

1

(

)

2

OC

OA

OB





,

换用坐标表示为

1

2

1

2

1

1

2

2

1

(

,

)=

[(

,

)+(

,

)]=(

,

)

2

2

2

x

x

y

y

x

y

x

y

x

y





,