前言：好久没有学数学了 前几天loli给高一的讲课涉及到了本章内容，所以来普及一波

设 是一个序列，我们定义的（一阶）差分序列为：

很简单吧，就是我们经常使用的差分啊 但是我们在叙述ta的定义的时候，加了一个词：一阶 有一阶就有二阶，有二阶就有三阶~ p p p阶啊： p p p阶差分序列： 我们定义一个序列的0阶差分序列就是ta自己：

我们可以把一个序列的0~P阶差分序列优美的写成一个倒三角，俗称差分表：

设序列为： h n = 2 ∗ n 2 + 3 ∗ n + 1 h_n=2*n^2+3*n+1 hn​=2∗n2+3∗n+1，这个序列的差分表？

在此例中，三阶差分序列全部由0组成，因此所有更高阶的差分序列都是由0组成的 现在我们支持，如果一个序列的通项是n的p次多项式，那么 （p+1）阶差分就都是0 ，这种情况下，我们可以把第一行0 后的所有0行删去

设序列的通项时n的p次多项式，即： 则对所有的

上面我们提出了一个很简单的定理（证明不是很简单，这里就不呈现给大家啦）

现在假设 g n g_n gn​, f n f_n fn​分别是两个序列的通项，定义另一个序列如下：

则 更一般的，我们可以归纳出： 如果c和d是常数，则对每一个整数p>=0，有：

我们把以上的内容叫做差分的线性性质 由此可以看到，序列Hn的差分表可以通过 c c c乘以 g n g_n gn​的差分表的项并用 d d d乘以 f n f_n fn​的差分表的项 ，然后将相应的项相加而得

设 g n = n 2 + n + 1 g_n=n^2+n+1 gn​=n2+n+1, f n = n 2 − n − 2 f_n=n^2-n-2 fn​=n2−n−2 g n g_n gn​的差分表：

f n f_n fn​的差分表：

设 h n = 5 n 2 − n − 4 h_n=5n^2-n-4 hn​=5n2−n−4，则 h n h_n hn​的差分表？

因为 h n = 2 g n + 3 f n = 2 ( n 2 + n + 1 ) + 3 ( n 2 − n − 2 ) = 5 n 2 − n − 4 h_n=2g_n+3f_n=2(n^2+n+1)+3(n^2-n-2)=5n^2-n-4 hn​=2gn​+3fn​=2(n2+n+1)+3(n2−n−2)=5n2−n−4 则 h n h_n hn​的差分表通过将第一个差分表的各项乘以2并将第二个差分表的各项乘以3然后对应相加，就可以得到结果了：

我们还是继续研究差分表： 图中，我圈出了一列数据，这些数据的下脚标都是0 这一列就是第0条对角线

差分表的第0条对角线等于 c0，c1，c2，…，cp，0，0，0，… 这样序列的通项满足：

设： h n = n 3 + 3 n 2 − 2 n + 1 h_n=n^3+3n^2-2n+1 hn​=n3+3n2−2n+1 计算差分我们得到：

因为 h n h_n hn​是 n n n的三次多项式，所以ta的差分表的第0条对角线就是：1，2，12，6，0，0，… 因此，根据定理二，hn就可以改写为：

我们为什么要用这种方式改写通项公式呢

其中：

这个是怎么来的呢：

因此原式可化为：

一个序列：$h_0，h_1，h_2，h_3，…，h_n，… $ 的第0条差分表的第0条对角线 c 0 ， c 1 ， c 2 ， c 3 ， . . . ， c p ， 0 ， 0 ， . . . c_0，c_1，c_2，c_3，...，c_p，0，0，... c0​，c1​，c2​，c3​，...，cp​，0，0，... 则：

求前n个正整数的4次方和

设： h n = n 4 hn=n^4 hn=n4 计算差分序列：

则第0条对角线就是：0，1，14，36，24，0，0，… 那么我们就有式子：

之前我们简单的介绍了一下差分序列 假如我们现在有一个序列： h n = n p h_n=n^p hn​=np 记ta的第0条对角线为：c(p,0)，c(p,1)，c(p,2)，…，c(p,p)，0，0，…

现在我们引入

（不要问ta为什么叫第二类，我为什么不先讲第一类。。。）

现在我们提出第二类 S t i r l i n g Stirling Stirling数的递推公式：

####定理三 如果 1 < = k < = p − 1 1