本文使用Matalab软件，将应用偏微分方程数值解中椭圆形方程的五点差分格式求解一道Poisson方程的第一边值例题，通过五点差分格式及边值条件得到相应的差分方程组 K U = F KU=F KU=F后，采用Gauss-seidel迭代法对其求解即可得到数值解，并将数值解与真解作比较. 其中五点差分格式将直接给出，其构造过程从略.

构造Poisson方程第一边值如下： 采用五点差分格式求解并与解析解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2进行比较. ( x 和 y x和y x和y方向均 n n n等分，取 h 1 = h 2 = h = 1 / n h_1=h_2=h=1/n h1​=h2​=h=1/n， x 和 y x和y x和y方向上的节点序号分别用 i , j i,j i,j表示)

表1：

主要思路是将二维问题当成一维问题求解，即二维的 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2个节点按顺序分行放到 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2维向量 U U U中.

主要步骤如下：

1.确定步长后对区域进行网格均匀剖分（ x , y x,y x,y方向的步长 h h h相等）；

2.所求方程组为 K U = F KU=F KU=F，根据五点差分格式分别给 K K K和 F F F赋值（矩阵中包含边界点）；

(说明： U U U是一个 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2维向量，即将求解区域中所有节点放到一个向量 U U U中，当作一维问题进行求解；其次，将边界点放入方程组中可以使 K K K具有更好的性质，更好地防止求解中不收敛的情况，处理边界点时将其当成未知的即可)

3.由边界点值的算术平均值作为 U U U的初始值,以减少迭代次数；

4.给定迭代次数上限 N N N和误差限，由 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代求解方程组 K U = F KU=F KU=F得到数值解向量 u u u；

5.为方便观察，将解向量 u u u的元素放入 ( n + 1 ) ∗ ( n + 1 ) (n+1)*(n+1) (n+1)∗(n+1)阶矩阵 U 1 U_1 U1​中，并与由解析解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2产生的解矩阵 U 2 U_2 U2​比较；

划分网格数 n n n选取为7.

1.右端项为 f i j = − 2 [ ( i h ) 2 + ( j h ) 2 ] f_{ij}=-2[(ih)^2+(jh)^2] fij​=−2[(ih)2+(jh)2]，则得到方程的五点差分格式为

相应的 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代公式为 2.构造求解矩阵时，对特殊类型的节点应根据边界条件将格式适当化简： （1）左边界点 u 0 j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u 0 j = 0 u_{0j}(j=0,1,...,n):4u_{0j}=0 u0j​(j=0,1,...,n):4u0j​=0 （2）下边界点 u i 0 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u i 0 = 0 u_{i0}(i=0,1,...,n):4u_{i0}=0 ui0​(i=0,1,...,n):4ui0​=0 （3）右边界点 u n j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u n j = 4 ( j h ) 2 u_{nj}(j=0,1,...,n):4u_{nj}=4(jh)^2 unj​(j=0,1,...,n):4unj​=4(jh)2 （4）上边界点 u i n ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u i n = 4 ( i h ) 2 u_{in}(i=0,1,...,n):4u_{in}=4(ih)^2 uin​(i=0,1,...,n):4uin​=4(ih)2 （5）左边界点的相邻内点 u 1 j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{1j}(j=0,1,...,n): u1j​(j=0,1,...,n): − ( u 2 j − 2 u 1 j ) − ( u 1 , j + 1 − 2 u 1 j + u 1 , j − 1 ) = h 2 f 1 j -(u_{2j}-2u_{1j})-(u_{1,j+1}-2u_{1j}+u_{1,j-1})=h^2f_{1j} −(u2j​−2u1j​)−(u1,j+1​−2u1j​+u1,j−1​)=h2f1j​ （6）下边界点的相邻内点 u i 1 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{i1}(i=0,1,...,n): ui1​(i=0,1,...,n): − ( u i + 1 , 1 − 2 u i 1 + u i − 1 , 1 ) − ( u i 2 − 2 u i 1 ) = h 2 f i 1 -(u_{i+1,1}-2u_{i1}+u_{i-1,1})-(u_{i2}-2u_{i1})=h^2f_{i1} −(ui+1,1​−2ui1​+ui−1,1​)−(ui2​−2ui1​)=h2fi1​ （7）右边界点的相邻内点 u n − 1 , j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{n-1,j}(j=0,1,...,n): un−1,j​(j=0,1,...,n): − ( − 2 u n − 1 , j + u n − 2 , j ) − ( u n − 1 , j + 1 − 2 u n − 1 , j + u n − 1 , j − 1 ) = h 2 f n − 1 , j + ( j h ) 2 -(-2u_{n-1,j}+u_{n-2,j})-(u_{n-1,j+1}-2u_{n-1,j}+u_{n-1,j-1})=h^2f_{n-1,j}+(jh)^2 −(−2un−1,j​+un−2,j​)−(un−1,j+1​−2un−1,j​+un−1,j−1​)=h2fn−1,j​+(jh)2 （8）上边界点的相邻内点 u i , n − 1 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{i,n-1}(i=0,1,...,n): ui,n−1​(i=0,1,...,n): − ( u i + 1 , n − 1 − 2 u i , n − 1 + u i − 1 , n − 1 ) − ( − 2 u i , n − 1 + u i , n − 2 ) = h 2 f i , n − 1 + ( i h ) 2 -(u_{i+1,n-1}-2u_{i,n-1}+u_{i-1,n-1})-(-2u_{i,n-1}+u_{i,n-2})=h^2f_{i,n-1}+(ih)^2 −(ui+1,n−1​−2ui,n−1​+ui−1,n−1​)−(−2ui,n−1​+ui,n−2​)=h2fi,n−1​+(ih)2 对于同时满足上述多个情况的节点，只需根据实际对上述相应格式进行一定的叠加即可.

3.根据五点差分格式和边界条件（步骤2）对 K , U 和 F K,U和F K,U和F赋值（其中选取边界值的算术平均值 Q = 0.3242 Q=0.3242 Q=0.3242为初始近似值赋于未知向量 U U U.）

4.取最大迭代次数N=500,迭代误差限 e p ep ep分别取 1 e − 2 1e-2 1e−2和 1 e − 4 1e-4 1e−4，采用 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代求解方程组 K U = F KU=F KU=F,将求解结果放到 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2维向量 u u u中.

5.将 u u u中的元素按一定次序存储到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶矩阵 U 1 U_1 U1​中，同时通过理论解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2产生相应节点的函数值并存储到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶矩阵 U 2 U_2 U2​中,将 U 1 , U 2 U_1,U_2 U1​,U2​的元素进行比较和分析.

表2：理论解得到的节点函数值（ U 2 中 元 素 U_2中元素 U2​中元素）

表3： e p = 1 e − 2 ep=1e-2 ep=1e−2时得到的节点函数值（ U 1 中 元 素 U_1中元素 U1​中元素，此时迭代次数 k = 8 k=8 k=8）

表4： e p = 1 e − 4 ep=1e-4 ep=1e−4时得到的节点函数值（ U 1 中 元 素 U_1中元素 U1​中元素，此时迭代次数 k = 29 k=29 k=29）

通过mesh函数分别将表2-表4的元素可视化，依次得到图1，图2，图3如下.

图1：

图2： 图3：

通过结果可看出，当迭代误差限不断减小到时，迭代次数从8次上升到29次，方程组数值解也更接近于理论解.本次实验选取大小适中，能够更普遍地反映求解区域中各节点的数值解取值，同时也方便直观地进行比较.可以推断当误差限趋于0时，迭代次数将趋于无穷，此时五点差分格式计算得到的数值解将无限趋近于理论解.但由于选取的误差限较小，节点个数选取仍然较小，我们不易直观地从图1至图3中直观地观察到两次数值结果同理论解之间的差异.

1.主函数

2.Gauss-seidel迭代