王振伟1,2，马 克1,3，田洪圆4，李全生1

(1.煤炭开采水资源保护与利用国家重点实验室，北京 102209；2.北方工业大学 土木工程学院，北京 100144；3.大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116023；4.西北农林科技大学，陕西 杨凌 712100)

摘 要：大多数煤岩体存在不同程度的损伤，分布有大量裂隙，当应力波传播穿过裂隙时，会出现波速下降、能量衰减及时间延迟等现象。为了理清应力波通过煤岩体裂隙时间延迟的规律，并对其进行定量分析，反演煤岩体内部破坏程度，采用数值计算的方法，对应力波在含单个裂隙煤岩体内的传播规律进行了研究，分析了应力波过缝前、过缝中、过缝后的波形特征，和裂隙宽度、荷载参数及岩层参数对延时规律的影响。研究结果表明：应力波过缝延时与缝宽、密度和荷载周期等因素呈正相关，各因素的敏感性排序为：缝宽>弹性模量>岩层密度>荷载振幅>荷载周期。其中，缝宽引起的延迟时间是荷载周期的0.23倍。研究结果揭示了连续一非通续单元法可以较好地模拟应力波在裂隙煤岩体内的传播规律。

关键词：煤岩体裂隙；应力波；时间延迟；连续-非连续单元法；裂隙宽度

中图分类号：TD313

文献标志码：A

文章编号：0253-2336(2019)06-0066-07

WANG Zhenwei1,2， MA Ke 1,3，TIAN Hongyuan 4，Li Quansheng1

(1.State Key Laboratory of Water Resource Protection and Utilization in Coal Mining,Beijing 102209，China；2.School of CivilEngineering,North China University of Technology,Beijing 100144，China；3.Institute of Rock Instability and Seismicity Research，Dalian University ofTechnology，Dalian 116024，China；4.Northwest A&F University,Yangling 712100,China)

Abstract:Most of the rock masses have varying degrees of damage and there are a large number of cracks.When the stress waves propagate through the cracks, wave velocity, energy attenuation and time delay will occur.In order to clarify the time delay law of stress wave passing through the coal rock mass, and quantitatively analyze it, invert the internal damage degree of coal and rock mass, and use numerical calculation method to study the propagation law of stress wave in a single fractured coal rock.The waveform characteristics of the stress wave before, during and after the seam are analyzed, and the crack width, load parameters and delay parameters of the rock layer parameters are analyzed.The results showed that the stress wave time delay was positively related with the factors such as width, density and load cycle.The sensitivity order of the factors was:crack width>modulus of elasticity>rock density>load amplitude>load cycle.Among them, the delay time caused by crack width could be 0.23 times of the load cycle.The results reveal that the continuum-discontinuum element method program could well simulate the propagation of stress wave in the fractured rock.

Key words:fractured rock; stress wave; time delay ; numerical simulation; continuum-discontinuum element method; crack width

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王振伟,马 克,田洪圆,等.煤岩体应力波传播规律及其影响因素的数值分析[J].煤炭科学技术,2019,47(6)：66-72.doi:10.13199/j.cnki.cst.2019.06.010

WANG Zhenwei， MA Ke，TIAN Hongyuan,et al.Numerical analysis on time delay law and its influence factors of stress wave propagation though cracks[J].Coal Science and Technology，2019，47(6)：66-72.doi:10.13199/j.cnki.cst.2019.06.010

收稿日期：2018-12-22

责任编辑：朱恩光

基金项目：煤炭开采水资源保护与利用国家重点实验室开放基金资助(SHJF17-42.15)；国家自然科学基金面上资助项目(51774184,51774064)；北方工业大学毓优团队项目(107051360019XN134/017)；北方工业大学科研启动基金项目(110051360002)

作者简介：王振伟(1977—)，男，吉林农安人，研究员，博士。E-mail:[email protected]

通讯作者：马 克(1983—)，男，辽宁鞍山人，副教授，博士。E-mail:[email protected]

在矿山、水利、边坡等工程中，由地震、爆炸或煤岩体内部破坏产生的应力波传到煤岩体裂缝时，在裂缝界面会伴随着折射、透射、反射、能量衰减、时间延迟等现象，会对工程安全产生重要的影响[1-2]。因此，研究应力波在裂隙煤岩体中的传播规律具有重要的意义[3-5]。许多学者对应力波在裂缝处的传播规律也做了大量的研究。赵坚等[6-7]采用BB模型深入研究弹性纵波穿越煤岩体节理的传播问题，获得了节理透射和反射系数的数值解。鞠杨等[8]通过SHPB试验和分形理论等手段，考虑了节理的粗糙特征，研究了应力波穿越节理的能量耗散与节理面分维值的关系。Li等[5,9]建立了应力波传播的时域递归分析法，深入研究了应力波斜入射一组平行线性节理及非线性节理的透射、反射特征。周剑等[10]基于离散元软件UDEC分析了结构面及其倾角对应力波传播的影响，发现应力波反射作用随着结构面倾角的增大呈现先增大后减小的趋势。俞缙等[11]基于波动方程特征线法理论，获得了纵波垂直入射含单节理时透射波的半数值解，并研究了不同波形应力波穿过多节理时的投射特性。Zhu等[12]研究了应力波在线弹性交叉节理中的传播规律。李业学等[13]基于节理煤岩体的分形损伤本构关系，并结合线性位移不连续体模型，建立了透反射系数与分形维数的表达式，最后通过SHPB实验和激光扫面等方法进行了验证。杨风威等[14]分析了在应力波在一组平行节理煤岩体中的传播规律，指出节理间距增大，其透射系数呈现先增大后减小，并最终趋于稳定。刘婷婷等[15]建立了含有非线性节理煤岩体的应力波传播方程，分析了节理空间分布、荷载参数以及节理接触面积对应力波能量传递规律的影响。柴少波等[16]基于波阵面的动量守恒和节理的位移不连续理论，推导应力波通过单节理的传播方程，分析了柱面P波在节理煤岩体中传播影响的规律。王鲁明等[17]曾提出需要解决应力波穿越节理时传播规律面临的几个问题，其中就包含了应力波传播速度减慢和时间延迟等问题。

基于此，笔者通过课题组研发的连续-非连续单元法(CDEM)展开了对应力波传播过缝延时规律及其影响因素的数值研究，并对各影响因素进行敏感性分析。不仅可以确定影响应力波过缝延时的关键因素，还有助于定量地描述应力波在煤岩体中的传播规律及煤岩体的变形、破坏规律，若结合适当的煤岩体内部参数反分析方法，也可为实现反演煤岩体内部破坏程度提出新的思路。

目前在岩土工程领域通常采用的数值计算方法为有限单元法[18-19]和离散单元法[12,14]，前者多应用于求解连续介质的应力与变形分析，具有很大的局限性，不能很好地反映节理煤岩体变形与破坏特征；后者将研究区域划为块体或颗粒的集合，可以反映岩石块体之间接触面的滑移、分离等问题，不能很好地反映岩石在连续变形阶段的特征。而CDEM程序避免了两者的缺点，结合了有限元与离散元各自的优势，它通过拉格朗日能量系统建立严格的控制方程，利用动态松弛法显示迭代求解，实现了连续介质与非连续介质的统一描述，可模拟材料从连续变形到断裂直至运动的全过程，例如模拟介质的大变形、旋转、滑移、裂缝的发展等问题。该程序在连续模型计算区域采用有限元、有限体积及弹簧元等方法，在非连续区域则采用离散元法[20-21]。

CDEM程序可以计算由连续到不连续的复杂问题，它的初始求解区域可为3种：完全连续、连续-离散和完全离散。对应节点类型包括连续节点、离散节点及混合节点等3类：连续节点被1个或多个单元共用，不参与界面力的求解；离散节点仅属1个单元，参与界面力求解；混合节点则被多个单元共用，且参与界面力求解。3种区域类型对应不同特征状态的物理问题，如连续介质中的裂纹扩展、含节理煤岩体的变形破坏以及堆石体的运动规律等。它将岩土体视为非连续可变形单元组成，认为单元是弹性体，单元体之间的作用力通过法向和切向弹簧进行传递，计算过程中连续单元可分裂，形成显示裂缝，裂缝和界面通过接触模型描述。破坏是否发生取决于介质的摩尔库伦强度条件和抗拉破坏条件，若单元发生分离，则接触力为零。针对求解区域的计算特征，连续-非连续单元法构建了几个概念，分述如下：①克隆点：连续区域计算的节点联结技术，保证位移协调；②罚弹簧：连续区域计算的数学弹簧，保证位移协调；③接触：描述离散块体之间相互作用的力学模型。

克隆点技术是将空间位置相同的离散网格点，作为统一的节点进行计算，即前文所述的连续节点。连续节点质量为连接的所有单元节点质量之和，连续域的变形特征由全场所有连续节点的位移和运动状态表征。罚弹簧技术则是采用另外一种思路，即是先将连续域的单元全部离散，进而用大刚度的数学弹簧进行连接，保证了单元之间的位移协调条件。连续区域内裂纹的萌生采用单元分裂的方式，无论是克隆点或是罚弹簧，初始裂缝在单元内部萌生之后，原先的母单元沿着裂缝面分裂成为2个子单元，而缝面上则采用接触模型来进行描述，其中接触的本构可以采用摩尔库伦的脆性模型、应变软化模型、内聚力模型等。

连续-非连续单元法通过拉格朗日能量系统建立控制方程，拉格朗日方程的表达式为：

(1)

式中：Qi为系统的非保守力；L为拉格朗日函数；t为时间。

在拉格朗日系统下，单元能量泛函可表示为：

(2)

式中：ρ为密度；ui为节点位移；为单元节点速度；σij为单元平均应力张量；ui,j为单元平均应变张量；fi为单元节点体力；V为单元体积。

非保守力包括阻尼力和边界外力，可写为：

(3)

式中：μ为阻尼系数；为子域边界上的面力；Qu为阻尼力；QT为边界外力；S为面积。

将式(2)、式(3)代入式(1)可得

(4)

利用分部积分有：

(5)

式(4)可简化为

(6)

根据有限元方法或弹簧元方法，单元节点所受内力等于单元变形能对节点的位移求偏导，即：

(7)

式中：为弹簧力的刚度系数或有限元的局部刚度阵；Πe为弹性能；为单元节点所受内力。

整理式(1)-式(7)，得：

(8)

对于单元发生破裂的情形，原先的单元分为两个计算区域，分别设为V1和V2，并且分裂界面为Sb，则式(8)可写为式(9)和式(10)

(9)

(10)

其中，表示在界面Sb上，分裂的子区域V1对V2的作用力。

最终单元的动力学方程可以写为

(11)

式中：和u(t)分别是单元内所有节点的加速度列阵、速度列阵和位移列阵；M、C、K和F(t)分别为单元质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和节点外部荷载列阵。

CDEM程序不同于有限元方法的求解方法，它在建立单元的动力学求解方程后，不需要将其组装成总体刚度矩阵，而直接采用动态松弛方法进行求解。动态松弛方法通过在动态计算中引入阻尼项，使得初始不平衡的振动系统逐渐衰减到平衡位置，它是一种将静力学问题转化为动力学问题进行求解的显示方法。该方法的基本流程如下：

1)从已知的初始状态开始，在每一个时间步长(如第n步)结束后，固定计算区域内的所有单元；

2)计算每个单元节点的弹簧力并将和外力求和得到节点合外力

(12)

3)根据式(12)，计算每个单元节点的不平衡力

(13)

4)根据每个块体上节点的不平衡力，计算这些节点的加速度

(14)

5)根据加速度和时步Δt，同时放松所有的节点

(15)

6)在新位置上固定所有节点，循环下一次迭代，直到满足退出条件。

动态松弛法反映的是材料内部的振动过程，时间步长不仅与外加荷载的频率有关，还与材料或结构的自振周期有关。在连续-非连续单元法中，单元的尺度是1个特征尺度，应保证在1个时步内，波的传播距离小于单元的最小尺度，否则计算将会发散。

可将计算域内单元振动的最小固有周期作为特征时间，写为

(16)

式中：m为单元的质量；K为单元的刚度。

在实际动态计算中，阻尼反应了材料在变形和破坏过程中内部能量的耗散，对波的传播以及结构的振动影响很大，取值不合适，会造成计算结果偏离实际情况。因此有必要对如何获取合理的阻尼系数c作进一步说明。

节点运动的控制方程为

(17)

式中：c为阻尼系数；F为单元所受的合力。同时，引入特征时间Te，有

t=Tet′

(18)

整理得

(19)

记

(20)

称ζ为无量纲的阻尼比，有

(21)

阻尼比影响材料振动的频率和动荷载下结构振动持续的时间。计算中改变阻尼比就可以改变结构的振动持续时间；反之，亦可以根据实验得到的结构振动持续时间，反演出系统的阻尼比。

为便于分析，将裂缝对应力波传播的影响研究简化为二维问题，如图1所示。

图1 数值模型示意Fig.1 Sketch of numerical model

计算所采用的模型尺寸为20 m×0.2 m×0.2 m，划分的网格尺寸为0.2 m×0.2 m×0.2 m，整个模型共生成100个单元，408个节点。在模型中部设置裂隙，缝宽为3×10-5 m，共布置8个监测点。模型前后、上下均约束yz方向的位移，右端施加无反射边界，在模型左端施加正弦荷载，其振速为0.05 m/s，振幅为0.5 m，周期为2 ms，计算时间为8 ms。计算过程中，煤岩体采用弹性本构模型，其力学参数取值见表1。

表1 岩石力学参数Table 1 Parameters of property for stone

弹模E/GPa泊松比ν密度ρ/(kg·m-3)黏聚力C0/kPa内摩擦角φ/(°)400.22 5601×10750

选取表1参数对其进行单因素影响分析，分别计算了缝宽d、荷载振幅A、荷载周期T、弹性模量E和密度ρ等因素，分析裂隙对应力波传播延时特性的变化规律，各参数取值变化见表2。

表2 各因素取值Table 2 Values of parameters

因素取值变化d/(10-5 m)13579A/(m·s-1)0.51234T/ms12345E/GPa3040506070ρ/(kg·m-3)2 0002 2502 5602 7502 990

应力波在过裂缝前一点的振动形式如图2所示，与施加的正弦波的振动形式一致。应力波在过缝后一点的振动形式如图3所示，与过缝前的振动形式略有变化。

图2 监测点1波速随时间变化Fig.2 X-velocity of monitoring points 1 with computing time

图3 监测点7波速随计算时间变化Fig.3 X-velocity of monitoring points 7 with computing time

裂缝左右边界上的监测点处应力波振动形式如图4和图5所示，由于在缝的界面两侧应力波产生折射、反射、透射等现象，致使波形出现剧烈振荡，也说明裂缝的存在对应力波的传播规律有较大影响。

此外，定义应力波过缝延迟时间为穿过含裂缝煤岩体所用时间与穿越同等介质煤岩体所用时间之差。

图4 监测点3波速随时间的变化Fig.4 X-velocity of monitoring points 3 with computing time

图5 监测点5波速随时间变化Fig.5 X-velocity of monitoring points 5 with computing time

应力波过缝延时随着缝宽的变化规律，如图6所示，当缝宽为1×10-5 m时，延迟时间为0.269 ms，为荷载周期的0.134倍；当缝宽为9×10-5 m时，延迟时间为0.461 ms，为荷载周期的0.23倍。裂缝的存在，导致应力波通过裂缝的传播时间延迟，裂缝宽度越大，延迟时间越长，且呈现明显的非线性关系。

图6 延时随缝宽的变化规律Fig.6 Law of time delay with crack width

延时随振幅的变化规律如图7所示，当振幅为0.5 m/s时，延迟时间为0.350 ms，为荷载周期的0.175倍；当振幅为4 m/s时，延迟时间为0.288 ms，为荷载周期的0.144倍。随着振幅速度增加，延时会逐渐减小，但起初减小幅度较大，然后逐渐变缓，其变化关系也呈现非线性关系。

图7 延时随振幅的变化规律Fig.7 Law of time delay withamplitude

延时随周期的变化规律如图8所示，当周期为1 ms时，延迟时间为0.330 ms，为荷载周期的0.33倍；当周期为5 ms时，延迟时间为0.395 ms，为荷载周期的0.079倍，延时随周期的变化也呈现出非线性关系，荷载周期越大，延迟时间越长。此外，荷载周期对延时的影响要远小于缝宽的影响。

图8 延时随周期的变化规律Fig.8 Law of time delay with load cycle

延时随岩层弹性模量的变化规律呈现明显的非线性，且随着弹性模量的增大，延迟时间减小，如图9所示。当弹性模量为30 GPa时，延迟时间为0.387 ms，为荷载周期的0.194倍；当弹性模量为70 GPa时，延迟时间为0.293 ms，为荷载周期的0.147倍。

图9 延时随弹性模量的变化规律Fig.9 Law of time delay with modulus of elasticity

延时随密度的变化规律如图10所示，当密度为2 000 kg/m3时，延迟时间为0.324 ms，为荷载周期的0.162倍；当密度为2 990 kg/m3时，延迟时间为0.369 ms，为荷载周期的0.185倍。延迟时间随着岩层密度的增加而增长，且具有线性关系。

图10 延时随密度的变化规律Fig.10 Law of time delay with density

为了找出影响应力波过缝延时的关键性因素，通过敏感性分析[22-23]处理该问题，考察各影响因素与延时之间的相关关系，找出敏感系数最大的因素，估算延时对各因素的敏感程度。其敏感度系数按式(22)计算。

(22)

式中：T为延时对各因素的敏感性系数；Δt为敏感因素发生一定变化时(取±10%)，应力波延时相应的变化率；Δs为敏感性因素的变化率。

说明，若T>0，表示时间延时与敏感性因素同方向变化；若T弹性模量>岩层密度>荷载振幅>荷载周期，见表3。

表3 敏感性分析Table 3 Sensitivity analysis

序号敏感因素敏感因素变化率Δs/%延时Δt/ms敏感性系数T1延时初值—0.437—2缝宽+100.5101.67-100.3422.173弹性模量+100.422-0.34-100.454-0.394密度+100.4500.30-100.4210.375荷载周期+100.4420.11-100.4330.096荷载振幅+100.431-0.14-100.442-0.11

其中，缝宽对延时的敏感度系数最大，其绝对值可达2.17，说明缝宽对应力波过缝延迟时间影响最大，荷载周期对延时敏感度系数最小，其绝对值仅为0.11，说明荷载周期对延时影响最小。

此外，缝宽、密度和荷载周期的敏感度系数为正值，说明延时的变化方向与这些因素的变化方向相同，呈正相关；弹性模量与荷载振幅的敏感度系数为负值，说明延时的变化方向与这些因素的变化方向相反，呈负相关。

1)应力波在裂隙煤岩体内传播时，过缝前与过缝后的应力波波形与施加荷载波形相一致，但在裂缝界面两侧，应力波产生了折射、反射、透射等现象，致使应力波波形剧烈震荡。

2)裂缝的存在，将使应力波在煤岩体内的传播时间发生延迟，且延时与缝宽、荷载周期、荷载振幅及弹性模量呈现明显的非线性关系。其中，随着缝宽、密度和周期等因素增加，延迟时间增长，其延迟时间最大分别为荷载周期的0.230、0.185和0.079倍；随着弹性模量和荷载振幅等因素增加，延迟时间减小，其延迟时间最大分别为荷载周期的0.194和0.175倍。

3)通过各因素的敏感性分析可得，敏感性排序为：缝宽>弹性模量>岩层密度>荷载振幅>荷载周期。其中，缝宽对延时的敏感度系数最大，其绝对值可达2.17，而荷载周期对延时影响最小，敏感性系数仅为0.11。

4)验证了CDEM可以很好地模拟应力波在裂隙煤岩体内传播延时规律，丰富了应力波传播理论。

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