层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初提出的，属于层次权重决策分析方法。

层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。以假期旅游为例，假如有3个旅游胜地A、B、C供选择，人们会根据景色、费用、居住、饮食等条件反复比较这3个候选地点。首先，人们会确定这些条件在心目中各占多大比重，如果经济宽绰、醉心旅游，自然看重景色；而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用；中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，人们会就每一个条件将3个地点进行对比，例如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住条件较好等。最后，要将这两个层次的比较判断进行综合考虑，在A、B、C中确定最佳地点。

对于专家填写后的判断矩阵，要利用一定数学方法进行层次排序。层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是计算权重向量（正规化特征向量）。计算权重向量有根法（几何平均法）、和法（规范列平均法）、迭代法等。

根法的计算步骤如下。

（1）计算矩阵 A 各行各个元素的乘积，得到一个 n 行一列的矩阵 B ；

（2）计算矩阵 B 中每个元素的 n 次方根得到矩阵 C ；

（3）对矩阵 C 进行归一化处理得到矩阵 D ，即为判断矩阵的正规化特征向量。

前两步可合并为一步，即求矩阵 A 各行各个元素的几何平均数。

和法的计算步骤如下。

（1）将矩阵 A 每一列归一化得到矩阵 B ；

（2）将矩阵 B 的每一行元素的值平均得到一个1列 n 行的矩阵 C ，即为所求正规化特征向量。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。适用于层次分析的迭代法是乘幂法，是比和法与根法更为精确的一种数值算法。计算步骤如下。

（1）为判断矩阵 A 设计一个1列 n 行的初始矩阵 B ， B 可以为不为0的任意值；

（2）用 A 与 B 相乘，得到矩阵 C ；

（3）用 C 除以 C 平方和的平方根，得到矩阵 D ，即为权重向量的第一次迭代结果；

（4）逐次用判断矩阵与新的权重向量矩阵进行迭代运算，直到特征根和特征向量收敛（不变）为止。

得到权重向量后，就可以计算最大特征根了。权重向量越精确，最大特征根也就越精确。计算最大特征根有两种方法：一是用判断矩阵（ M ）与正规化特征向量矩阵（ W ）相乘，再求结果矩阵 MW 之和；二是求结果矩阵 MW 除以正规化特征向量矩阵后的平均值。

在层次排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵严格满足这一性质，但从人类认识规律来看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的。例如，若 A 比 B 重要， B 又比 C 重要，则从逻辑上讲， A 应该比 C 明显重要；若两两比较时，出现 A 比 C 重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。因此，在实际中，要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。

一致性检验的步骤如下。

（1）计算一致性指标CI，公式为

式中， λ max 为最大特征值； n 为矩阵阶数。

（2）根据矩阵阶数查表确定相应的平均随机一致性指标RI。对于不同的 n ，RI的值如表17-2所示。

（3）计算一致性比例CR并进行判断。  。当CR＜0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；CR＞0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。