前言 上次说到小波变换的知识体系，这篇博客就主要说小波变换里的连续信号的连续小波变换与离散小波变换。 连续信号的连续小波变换 话不多说，我们先放公式，如果你是第一次接触小波，你可会有点懵，但是不要怕，我希望我的描述可以让你逐渐理解其意义。 由公式我们可以看到，其小波变换后的结果是一个关于τ和s的二元函数，而这也与之前说的小波变换是一种时-频域变换相一致。下面我们开始对上述方程开始分析，其中x（t）就是原时域信号，Ψ（t）就是我们所说的小波基，这里说下小波基是有很多种的，不同的小波基有其不同的特点，所以在进行小波变换选择合适的小波基也是很重要的一步，但是这些小波基在时域上长度是有限的，而这也是其被叫做小波的原因。而τ和s很明显就是对小波基进行平移变换和尺度变换，而前面的s的绝对值的负二分之一这个系数是为了能量归一化。那么直观的来看，这个公式计算的就是原信号与小波基的不同尺度变换、平移变换版本的正交值，正交值越大说明这个版本的小波在原信号中占的比重越大。下面来看看小波变换是如何分析具体信号的，我们给出一个信号，波形如下图，下面对这个信号进行小波变换。 举个例子，我们先令s=1，也是就是小波的未压缩版本，τ从0开始变化，逐渐变大，计算原信号与小波的未压缩版本的多个平移版本的正交值，过程如下图，其中蓝色部分就是我们的小波。 相似的，我们令s=5、20，也就是小波的延伸5、20倍版本，τ从0开始变化，逐渐变大，计算原信号与小波的延伸5、20倍版本的多个平移版本的正交值，过程如下图。 清楚了过程，我们给出一个更加熟悉的信号，没错，就是上篇博客中提到的变频率的正弦函数。 我们直接给出它的小波变换结果，注意下图中的xy坐标为平移和尺度，不是时间和频率 就像图中所呈现的，较小的尺度对应较大的频率，较大的尺度对应较小的频率，这也与上面举的例子一致，当尺度s较小时，小波函数比较尖锐，就对应高频，而当尺度s较大时，小波函数比较平缓，就对应低频。而平移与时间相似，所以通过这个小波变换结果图我们就可以读出原信号在时间轴0到30上频率最高，30到60频率变低，60到80再变低，80到100最低，这也与时域图像相对应。下图是上图的另一个角度，体现的更加明显。 所以说，通过上面的连续信号的连续小波变换，我们可以将一个信号变换到时-频域进行分析，不过，显然这种方法的计算量是十分庞大的，并且计算结果还有一定程度上的冗余，所以人们就想能不能把上图的变换结果在不损失结果信息的前提下进行简化，所以，连续信号的离散小波变换就诞生了。 连续信号的离散小波变换 仿照着连续信号的连续小波变换，我们直接给出离散小波变换的公式，见下图。 与一开始的连续小波变换的公式相比，此时的离散小波变换只分析小波函数的某几个特定的尺度变换和平移变换版本与原信号的正交值，将结果数据量大幅降低，并且此时原信号还可以拆解成类似级数的形式，其正交值也被赋予了物理意义，值得一说的是尺度变换的幅度不必非要是2的几次方形式，只不过在一般情况下为了方便计算，一般取2的次方的形式。 这篇博客主要大体介绍了下连续信号的连续和离散小波变换的公式和过程，下篇博客中我将介绍连续信号的离散小波变换中的多分辨分析、尺度函数、小波函数（这里的小波函数要与之前提到的小波基区别开，两者无直接关联）概念。