数论之容斥原理 与经典例题 |
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容斥原理
容斥原理是对多个集合的一种计数方法。人们为了不重复、不遗漏地计数,想到了一个特别的计数方法,称为容斥原理。 简单来说,某个事物有很多类,我们现在要计算A、B、C三类的和,那么总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A又是B类元素个数-既是B又是C类元素个数-既是A又是C类元素个数+既是A又是B又是C类元素个数。 这样计算非常方便且不重不漏,我们用一个集合图直观的就能看出这个原理: 例1:nc15079 大水题 题目描述正如题名,这是一个裸的基础容斥原理的题目。我们要计算不是2 5 11 13倍数的个数时,先计算出是其倍数的个数,再用总数一减。那么此时,我们就用容斥原理来计算是2 5 11 13倍数的个数和,我们先计算是单个数倍数的个数,再减去同时是两个数的倍数的个数,再加上同时是三个数的倍数的个数,再减去同时是四个数的倍数的个数即可。 我们在计算是2的倍数的个数时直接用 n/2 就是其倍数的个数,其他也同理。 代码解析 #include using namespace std; typedef long long ll; ll cnt,n; int main() { while(cin >> n) { cnt = n/2 + n/5 + n/11 + n/13; //是单个数的倍数个数 cnt -= n/10 + n/ 22 + n/26 + n/55 + n/65 + n/143; //减去同时是两个数的倍数的个数 cnt += n/110 + n/130 + n/286 + n/715; //加上同时是三个数的倍数的个数 cnt -= n/1430; //减去同时是四个数的倍数的个数 cout |
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