【银蛇出品】数学漫谈4 |
您所在的位置:网站首页 › 导数转换公式大全 › 【银蛇出品】数学漫谈4 |
前置知识:一元函数微积分 双曲函数是一类很重要的初等函数,尽管重要性稍逊于三角函数,可在许多数学问题和实际工程中都能见到它,其中最著名的莫过于悬链线问题了。双曲(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)函数可以用指数函数来定义 公式(1)相应的反函数为 公式(2)先来看看双曲函数的一些性质,这些性质均可由定义出发得到,证明过程略去。 性质1 复合关系 公式(3)性质2 平方恒等关系 公式(4)据公式(4)中的第一个等式,我们可以发现这个形式与双曲线很相似。实际上,由此式可以说明,参数方程 恰可表示双曲线 的右支(x≥a)。参数t的几何意义是,由双曲线上某点(x,y)到(a,0)这段曲边、x轴、点(x,y)与原点(0,0)连线围成的曲边三角形面积的2倍,称之为双曲角。双曲函数这一名称由此而来。 图中曲边三角形面积的2倍就是双曲角性质3 两角和差公式 公式(5)性质4 二倍角公式 公式(6)性质5 n倍角公式 公式(7)提示:利用 公式(8)结合数学归纳法可证。 性质6 半角公式 公式(9)提示:反向利用二倍角公式即得。 性质7 和差化积、积化和差公式 公式(10)性质8 “万能”公式 公式(11)提示:对于公式(11)后两个等式,可在左侧除以 性质9 双曲函数与三角函数的关系 公式(12)提示:利用欧拉公式 公式(13)性质10 导数公式 公式(14)联想到不定积分中第二类换元法中存在一类换元技巧,在遇到形如 公式(15)的乘积项时,可作变换x=asint。类似地,当我们遇到形如 公式(16)的乘积项时,可依据tan²x+1=sec²x,分别做变换x=atant和x=asect。实际上,我们也可以从公式(4)出发,分别作变换x=asinht和x=acosht。有时作后一种变换解决问题更快捷。 例1 计算不定积分 小试牛刀解 ① ② 这个例子中,后一种变换的优势不够明显(其实计算sect的原函数还是比较麻烦的),再看下例。 例2 计算积分 稍微有点难度解 ① 呃,然后怎么做?这个积分不太好做。下面先证明一个引理 一个递推式,解题的关键由分部积分法 得 移项,引理得证。 于是 又 从而 ② 两种做法的复杂程度高下立判。 总而言之,在进行积分计算时,如果遇到形如公式(16)的乘积项时就可以考虑用双曲函数做变换。 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |