【新系列】【理科拾遗】1.导数 |
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在高二正式在数学课本中遇到导数之前,我们和导数已经有了无数的联系…… 导数的简介本节是给那些不了解导数的读者准备的基础概念科普,如果你认为自己已经有相关知识,可以跳过。 导数(英语:derivative)是微积分学中的一个概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数 的自变量在一点 上产生一个增量 时,函数输出值的增量与自变量增量 的比值在 趋于0时的极限如果存在,即为 在 处的导数,记作 、 或 。 ——来自中文维基百科:导数 似乎这么说,大家都是一头雾水。但是我觉得对于高一的学生来说,我们可以简单地说明一下导数的几何意义: 对于函数,如果它的定义域和值域都是的子集(简单地,自变量和函数值都是实数),那么它在处的导数就是的图像在处的(切线)斜率。 也可以用另外一种易于理解的直观话说: 如果在附近变化得很快,那么它在处的导数的绝对值就越大。 可能有些人看出来了:这不就是位移和速度、速度和加速度嘛! 没错。严格地说,在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。而由一个物体的位移-时间表达式求出它对应的速度-时间表达式的过程,就可以直观地理解为求关于的导函数的过程,简称求导。在这里,便是关于的导函数。 当然,关于一个函数是否有导数还需要进一步地判断(判断一个函数是否可导)。这牵扯到很复杂的概念,在这里不加赘述。只需要读者们牢记求一个函数的导(函)数就相当于求这个函数的变化速度一样。 一些可能用到的求导知识对于,有。 比如的导函数。 对于常函数,其导函数为0。即。 在匀变速直线运动中的关联既然我们直接提到了导数与运动学概念速度的联系,那让我们看看具体的。 在匀速直线运动中,有这两组公式: 如果你想尝试一下,可以试着对关于求导,即求。不出意外,它恰好等于。 推导过程注意到 则 另外,有 则 故有上述结论。 这个结论似乎并没有出乎我们的意料——导数本该如此。但是当我们了解了一些其他的结论的时候,运动学中的一些结论似乎会变得有意思起来。 二次函数与导数:初中压轴、匀变速、抛体在初中的二次函数压轴题中,有这样一种常见、简单的题目。比如: 题目Q1 如图,二次函数的图像经过、,交轴于点。是第一象限内二次函数图像上一点,问当的面积最大时,点的坐标。 在初中,大家都用的是「铅锤高 水平宽」的方法,用点坐标表达的面积,再研究这个表达式的最值得出结果。 但是有了导数这个强大的工具,我们得以降维打击,秒杀这一道题。 解:计算(过程略)可得到二次函数解析式 且,则直线AB的斜率 分析得当抛物线过点的切线平行于直线时,的面积取到最大值。对求导得 设此时点坐标为,则 将代入得此时P点坐标为 和之前一样,这个过程中没有在求导前判断函数可导,不够严谨。并且这种方法在初中还不一定能得到分,充其量作为一种辅助检测答案的方法。 一个有趣的引理如果每次都是像上面那样,求导、联立,虽然帅,但是不够快。于是就有了这一节,分享一个引理,并探讨一下它能推导出什么。 拉格朗日中值定理首先我们先简单介绍一下拉格朗日中值定理,它的表述是: 如果函数满足: 在闭区间上连续; 在开区间内可微分; 那么至少有一点 ,使下面等式成立 ——来自中文维基百科:拉格朗日中值定理 上面的等式也可以写成 不难发现,写成分式之后,等号右边就是过的图像上两点的直线的斜率,也就是在上的平均变化率。 也许有些读者还是没有理解拉格朗日定理的意义,所以让我们给出它的几何意义: 几何意义 若连续曲线在点之间的每一点处都有不垂直于轴的切线,则曲线在、间至少存在一点,使得该点处的切线与割线平行。 ——来自百度百科:拉格朗日中值定理§定理推广 有了这些知识(其实没有问题也不大),我们可以开始讲述我们的引理了。 引理L1对于形如的二次函数上的区间,有 希望读者们看这么一点就能立刻明白是怎么一回事。谨防万一我在这里还是给出它的几何意义。 几何意义对于任意的一条抛物线和过其上两点的割线,抛物线过的切线平行于。 证明对于等式的右边,将其展开: 在上连续可导,根据拉格朗日中值定理 则 可得 引理的应用 二次函数压轴有了引理,刚刚的例题Q1便可以被真正「秒杀」: 解:计算可得到二次函数解析式 且 分析得当抛物线过点的切线平行于直线时,的面积取到最大值。 根据引理,可知当点横坐标满足 时的面积最大。 此时点坐标为 |
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