在数学分析和物理学中，导数被广泛使用，描述复杂的函数和变量。 后者可能包括电压、化学反应和运动速度。

即任何难以或不可能描述为恒定值的量。 例如，行驶中的汽车在行驶过程中多次加速和减速的速度。 函数的数学导数旨在描述、系统化和分析这些量。

根据官方定义，导数是当函数自变量趋于零时，函数增量与其自变量增量之比的极限。 计算导数的过程称为微分。 并且只有当函数具有有限导数时，才称为可微分。

函数可以描述为一个量对另一个量的依赖性，并在坐标平面中描绘为一条线。 区分它：

导数将显示 y 值的增量大于或小于 x 值的增量多少倍。 这些增量的比率描述为 dy/dx，导数为 f(x)。

早在 15 世纪，导数就开始在数学中使用 - 以确定射弹飞行范围对火炮倾角的依赖性。 第一个使用这种技术的是意大利数学家 Niccolo Fontana Tartaglia。

17世纪，来自瑞士的伯努利兄弟开始认真研究衍生品。 弟弟约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 首次发表了微分学的系统介绍，成为 1687 年“无穷小分析”的基础。 到 1742 年，这位科学家还完成了积分微积分课程的开发，并提出了求解常微分方程的新方法。

约翰的哥哥雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli) 使用导数来求出平坦曲线的曲率，并用它来研究对数螺线。 “积分”这个名字的作者是雅各布·伯努利，事实上，“积分”是微分的反义词。

17-18世纪之交的伯努利兄弟对导数的研究做出了巨大贡献，为数学变分法奠定了基础。

在欧洲17世纪到19世纪期间，其他杰出的科学家也参与了导数的研究：莱布尼茨、牛顿、拉格朗日、雅可比、维尔斯特拉斯、勒让德。 例如，微分的现代表示法 - d(x) - 由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 引入，带有素数的导数的表示法 - f'(x) - 由约瑟夫·路易斯·拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange) 引入。

“导数”一词本身是由拉格朗日于 1797 年首次使用的。 这个词是法语deree的翻译，源自derive - “派生”。

随后，许多欧洲数学家使用了法国引入的符号，而“delta”（∇）符号直到 1853 年才出现，这要归功于爱尔兰数学家 William Rowan Hamilton。

为了更容易理解函数并找到其导数，可以用举世闻名的游乐设施——过山车做一个简单的类比。 如果从侧面观察，您甚至可以通过肉眼，无需复杂的计算，确定小车运动的主要特征：在哪些区域上升/下降，在哪里加速/减速，多少次它将跨越上升/下降之间的界限。

平面上描绘的函数可以用完全相同的方式来描述。 在不同的领域，它会以不同的方式增加和减少——这个过程可以使用导数来描述和确定。 为此，我们引入以下定义：

参数x的增量越小，计算的精度越高。 当自变量的增量趋于零时，可以获得最高的准确度。 在这种情况下，求导数将需要进行大量趋于无穷大的计算（根据精度/梯度进行调整）。

如果这个任务对一个人来说太困难，那么现代计算机可以瞬间处理它。 使用特殊的在线应用程序就足够了，该应用程序可以使用输入的数据找到函数的导数，即使它们包含在具有正弦、余弦、根和指数的复杂公式中。