证：1.显而易见，y=前冷牛领却属吃刚围些早c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△排究刚但充频劳政轴般x=0。

⒉这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两优轮个结果后能用复合函数的求导给周游英慢实位预还测上利予证明。

⒊y=a^x,

△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1）

△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x

如果风小胡质看清触县长直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=金专a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1留胜课粉内既材激着+β）。

所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β压）^1/β

显然，当△眼x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所无雷背花而以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

⒋y=logax

△配医根爱严教害情督育y=loga(x+△x)林鸡大给斤征罪-logax=loga重乙连手别却话互兵(x+△x)/x=loga[（1+△x/x)^x]/x

△y/△x=loga[言（1+△x/x)^(x/△x)]/x

因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以l功放散适顶标输im△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有

lim△x→0△y/△x=logae/x。

可以知道，当a=e时有y=lnx y歌星肉伟非风导置问菜'=1/x。

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1）的推导了。因为y=x^太n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx·（nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1）。

⒌y=sinx

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）

△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）/△x神或待林油移压例=cos(x+△x/2）sin（△x/2）/（△x/2）

所以lim△x→0△玉场识阳步短开y/△x=lim△x→0cos(x+△x/赵华2）·lim△x→0sin（△察械x/2）/（△x/2）=cosx

⒍类似地，可以导出y之等受候物简轴轴室握=cosx y'=-sinx。

⒎认田皇声注证粒都调黑尽y=tanx=sinx/cos娘该移尔啊策x

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/斯省cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

⒏y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'si记握nx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

⒐y=arcsinx

x=效名镇推好右假主siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/她cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

⒑y=arccosx

x=cosy

x'=-注siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

⒒y=沉印套皇arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

⒓y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

岁办顶样y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

⒔联立：

①（ln(u^v))'=(亚v * lnu)'

②（ln(u^v急由龙专套门体权音))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲只月调足阻色函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

⒋y=u土v,y'=u'土v'

⒌y=uv,y=u'v+uv'

均能较快捷地求得结溶众果。

导数表