从前有棵树，叫做高树（高数），上面挂了很多人；从前有座坟，叫做微积坟（微积分），里面埋了很多人。

首先声明一下，这么多天没更这个系列真的不是因为up咕咕了，up在这些天里看了一下这个系列的阅读量，发现阅读量相对较少（相比于up的其他文章），然后up分析了一下原因，这次也准备换一种风格写作，或许大家可以更容易地接受。

先放一个传送门（上一期）：

上一期咱们扯了扯函数（虽然基本上是归纳），

那么这期讲点别的（重点！不过好像微积分哪儿都是重点），

本文内容：

瞬时速度与极限的定义

导数的定义与几何意义

求导步骤与导函数

一、瞬时速度与极限的定义

1.平均变化率

平均变化率是这样定义的：已知函数y=f(x),x₁,x₂是其定义域内不同的两点，

式子[f(x₂)-f(x₁)]／(x₂-x₁)称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率。

令Δx=x₂-x₁，则可把Δx看作是该函数在这个区间上相对于x₁的一个“增量”，然后我们把x₂用x₁+Δx来代替；同理Δy=f(x₂)-f(x₁)。于是，平均变化率可以表示成Δy／Δx。

注意：1.Δx，Δy都是整体符号，并不是Δ与x，y相乘，千万别在写Δy／Δx时把小三角形约掉了，不然被老师打死，up可不负责的哦。

           2.Δx，Δy的值都是可正可负的，并不一定是大减小，且Δx不为零（因为要做分母）。当f(x)是常数函数时，Δy为零。

2.瞬时速度

相信在座的各位都知道高速上是要测速的。这个测速分两种，一种是测瞬时速度，另一种是测平均速度（即区间测速）。然后往往就有了这样那样的对话：

————我一直开的很慢，只是在这里稍微提了一下速而已！

————不管怎么样，你的瞬时速度太快了！

或是：

————你看我开得这么慢，怎么可能超速呢？

————区间测速的牌子看到了么！

————这…………

我们都知道，做变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不一样der~于是我们就把物体在某一时刻的速度称作瞬时速度。对于函数来讲，相似的定义就是瞬时变化率（导数）。

不知道看到这里的你有没有冒出一个问题：这不是矛盾了吗？

变化率怎么求？Δy／Δx。瞬时怎么讲？Δx等于0。但是0不能做分母啊！

别着急，等我们讲完了极限和导数再来讲这个问题。

3.极限

其实简单讲就是这样：极限是一个值，当函数的自变量无限接近于极限处的取值时，因变量也会无限接近于极限。求瞬时变化率，也就是求当Δx趋近于0时Δy／Δx的值。但可惜的是，在求瞬时变化率时，你永远也不能让Δx等于0，毕竟它也是一个分母。

注意：极 限 不 是 等 于 。

所以，你的怀疑是对的，只不过数学家用很巧妙的办法解决了它。数学家的方法说白了就是，我先算（把Δx当作不为零的常数），算到最后不用作除法了，再让Δx等于0，把它省去。

二、导数的定义与几何意义

1.导数的定义，几何意义

其实导数的定义和瞬时速度有异曲同工之处，我们来看一看：

比起这个定义，我相信导数的几何意义更好理解。毕竟我到现在也背不出上面那一长串文字，但几何意义我却能说出来（数形结合果然是个好东西）。

先上图：

当点P沿着这条曲线无限接近点P₀时（即Δx→0时），割线PP₀有一个极限位置PT。直线PT就是曲线在点P处的切线。函数f(x)在点x₀处的导数的几何意义就是曲线上过点x₀的切线的斜率。

2.问题的解决（不想看的可以直接跳第三节）

现在让我们正视这个问题吧。

瞬时变化率本身的描述其实是有漏洞的（不过教科书上都这么写）

“瞬时”意味着我们截取了一个瞬间；“变化率”意味着我们至少需要两个时间点来计算。

换句话说，真正的“瞬时速度”，“瞬时变化率”都是无法精确计算的，因为我们根本不知道它是什么东西。

即使在几何上这条切线始终存在，也别忘了切线的定义，这条曲线与这条直线只有一个交点，一个！仅凭这一个点是无法得出变化率的！

然后你就会问：这玩意儿不是不能算吗，为什么我们照着算会有一个答案呢？

事实上，我们所得到的结果，并不是“瞬时变化率”，而是一种近似的结果，它应该叫做“变化率的近似”而并非“瞬时变化率”。在生活中，也是这样处理的，汽车的仪表盘上的速度显示，就是截取很小的一段时间，在这段时间里汽车走了很小的一段距离，于是就利用这两个数据来计算汽车的速度。同样的，公路的测速也是这样处理的（下次你或你的身边人被扣分时记得提醒说明哦，测速仪是无罪的）。

至此，问题解决了。

三、求导数步骤与导函数

1.求函数y=f(x)在点x₀处的导数的步骤

（1）求函数的增量Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀);

（2）求平均变化率；

（3）取极限，得导数f ’(x₀)

2.导函数

从求函数f(x)在x=x₀处的导数的过程中可以看到，当x=x₀时，f '(x₀)是一个确定的值。当x变化时，f '(x)的值也会连续地变化，则f '(x)就是x的一个函数，我们称它是f(x)的导函数，有时也记作y’。但是这玩意儿的简称也是“导数”，所以看到时一定要分清！

P.S.一般放整个函数出来说求导数的就是指导函数，带上点的就是上面的那个导数

注意：导函数是一个变量，但上面那个导数是一个常数，有具体值。

总结：

1.式子[f(x₂)-f(x₁)]／(x₂-x₁)称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率。

2.物体在某一时刻的速度称作瞬时速度。

3.极限是一个值，当函数的自变量无限接近于极限处的取值时，因变量也会无限接近于极限。

4.导数的定义（看图）

5.函数f(x)在点x₀处的导数的几何意义就是曲线上过点x₀的切线的斜率。

6.所得到的结果，并不是“瞬时变化率”，而是一种近似的结果，它应该叫做“变化率的近似”而并非“瞬时变化率”。

7.求函数y=f(x)在点x₀处的导数的步骤：

（1）求函数的增量Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀);

（2）求平均变化率；

（3）取极限，得导数f ’(x₀)

8.从求函数f(x)在x=x₀处的导数的过程中可以看到，当x=x₀时，f '(x₀)是一个确定的值。当x变化时，f '(x)的值也会连续地变化，则f '(x)就是x的一个函数，我们称它是f(x)的导函数，有时也记作y’。

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