在上篇文章中，我们介绍了二元函数可微的一个充分条件：

定理2 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)得的某个邻域内有定义，若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的两个偏导数均在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处连续，则该函数在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处可微。

但我们事实上还可以弱化这个条件。

定理2’ 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)得的某个邻域内有定义，若 f y ( x , y ) f_y(x,y) fy​(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处连续，且 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx​(x0​,y0​)存在，则 z z z在该点可微。 证明：考虑 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 + Δ x , y 0 ) ] + [ f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) ] \begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)]+[f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)]\end{aligned} Δz​=f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)=[f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​+Δx,y0​)]+[f(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)]​左边使用拉拉格朗日中值定理得 f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 + Δ x , y 0 ) = f y ( x 0 + Δ x , y 0 + θ Δ y ) Δ y f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)=f_y(x_0+\Delta x,y_0+\theta\Delta y)\Delta y f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​+Δx,y0​)=fy​(x0​+Δx,y0​+θΔy)Δy其中 θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)。由于 f y ( x , y ) f_y(x,y) fy​(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)连续，故有 lim ⁡ ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) f y ( x + Δ x , y + θ Δ y ) = f y ( x 0 , y 0 ) \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f_y(x+\Delta x,y+\theta\Delta y)=f_y(x_0,y_0) (Δx,Δy)→(0,0)lim​fy​(x+Δx,y+θΔy)=fy​(x0​,y0​)设 α 1 = α 1 ( y ) \alpha_1=\alpha_1(y) α1​=α1​(y)为一个无穷小量，则有 f y ( x + Δ x , y + θ Δ y ) = f y ( x 0 , y 0 ) + α 1 f_y(x+\Delta x,y+\theta\Delta y)=f_y(x_0,y_0)+\alpha_1 fy​(x+Δx,y+θΔy)=fy​(x0​,y0​)+α1​对 x x x而言，我们有 f x ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} fx​(x0​,y0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​故 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) = [ f x ( x 0 , y 0 ) + α 2 ] Δ x f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=[f_x(x_0,y_0)+\alpha_2]\Delta x f(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)=[fx​(x0​,y0​)+α2​]Δx其中 α 2 = α 2 ( x ) \alpha_2=\alpha_2(x) α2​=α2​(x)为无穷小量。那么 Δ z = [ f y ( x 0 , y 0 ) + α 1 ] Δ y + [ f x ( x 0 , y 0 ) + α 2 ] Δ x = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y + α 1 Δ y + α 2 Δ x \Delta z=[f_y(x_0,y_0)+\alpha_1]\Delta y+[f_x(x_0,y_0)+\alpha_2]\Delta x=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+\alpha_1\Delta y+\alpha_2\Delta x Δz=[fy​(x0​,y0​)+α1​]Δy+[fx​(x0​,y0​)+α2​]Δx=fx​(x0​,y0​)Δx+fy​(x0​,y0​)Δy+α1​Δy+α2​Δx只需证 α 1 Δ y + α 2 Δ x = o ( ρ ) ,    ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \alpha_1\Delta y+\alpha_2\Delta x=o(\rho),\ \ \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} α1​Δy+α2​Δx=o(ρ),  ρ=(Δx)2+(Δy)2 ​ 而 ∣ Δ x ∣ ≤ ρ , ∣ Δ y ∣ ≤ ρ |\Delta x|\le\rho,|\Delta y|\le\rho ∣Δx∣≤ρ,∣Δy∣≤ρ故 lim ⁡ ρ → 0 ∣ α 1 Δ y + α 2 Δ x ∣ ρ ≤ lim ⁡ ρ → 0 ∣ α 1 ρ + α 2 ρ ∣ ρ = 0 \lim_{\rho\to0}\frac{|\alpha_1\Delta y+\alpha_2\Delta x|}{\rho}\le\lim_{\rho\to0}\frac{|\alpha_1\rho+\alpha_2\rho|}{\rho}=0 ρ→0lim​ρ∣α1​Δy+α2​Δx∣​≤ρ→0lim​ρ∣α1​ρ+α2​ρ∣​=0一个函数的绝对值的极限为 0 0 0，那它本身的极限肯定是 0 0 0。因此 α 1 Δ y + α 2 Δ x = o ( ρ ) \alpha_1\Delta y+\alpha_2\Delta x=o(\rho) α1​Δy+α2​Δx=o(ρ)，定理证毕。∎

一道例题： 例 当（ ）时， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处可微。 A. lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) [ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) ] = 0 \lim_{(x,y)\to(0,0)}[f(x,y)-f(0,0)]=0 (x,y)→(0,0)lim​[f(x,y)−f(0,0)]=0B. lim ⁡ x → 0 f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) x = lim ⁡ y → 0 f ( 0 , y ) − f ( 0 , 0 ) y = 0 \lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0 x→0lim​xf(x,0)−f(0,0)​=y→0lim​yf(0,y)−f(0,0)​=0C. lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 = 0 \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 (x,y)→(0,0)lim​x2+y2 ​f(x,y)−f(0,0)​=0D. lim ⁡ x → 0 [ f x ( x , 0 ) − f x ( 0 , 0 ) ] = lim ⁡ y → 0 [ f y ( 0 , y ) − f y ( 0 , 0 ) ] = 0 \lim_{x\to0}[f_x(x,0)-f_x(0,0)]=\lim_{y\to0}[f_y(0,y)-f_y(0,0)]=0 x→0lim​[fx​(x,0)−fx​(0,0)]=y→0lim​[fy​(0,y)−fy​(0,0)]=0 答案是C。A、B分别代表连续和偏导数存在，不能说明可微。D是一个坑，注意，题目中并没有蕴含 f x ( x , y ) f_x(x,y) fx​(x,y)与 f y ( x , y ) f_y(x,y) fy​(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)连续，因为只有一个变量趋于 0 0 0。D有一个反例： f ( x , y ) = { 1 , x y = 0 0 , x y ≠ 0 f(x,y)=\begin{cases}1,&xy=0\\0,&xy\ne0\end{cases} f(x,y)={1,0,​xy=0xy​=0​这个函数仅在坐标轴上函数值为 1 1 1，在其他点函数值都为 0 0 0。它满足 D D D的条件，但甚至在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)不连续。 对于C，分别将 x = 0 x=0 x=0与 y = 0 y=0 y=0带入得 f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 fx​(0,0)=fy​(0,0)=0。而可微时 Δ f = f x ( 0 , 0 ) Δ x + f y ( 0 , 0 ) Δ y + o ( ρ ) = o ( ρ ) \Delta f=f_x(0,0)\Delta x+f_y(0,0)\Delta y+o(\rho)=o(\rho) Δf=fx​(0,0)Δx+fy​(0,0)Δy+o(ρ)=o(ρ)所以只需要说明 f ( x , y ) = o ( ρ ) f(x,y)=o(\rho) f(x,y)=o(ρ)即可。而 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) Δ f ρ = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 = 0 \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\Delta f}{\rho}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 (x,y)→(0,0)lim​ρΔf​=(x,y)→(0,0)lim​x2+y2 ​f(x,y)−f(0,0)​=0即 Δ f = o ( ρ ) \Delta f=o(\rho) Δf=o(ρ)，所以它可微。