盖尔金圆定理及严格对角占优矩阵（SDD） |
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盖尔金圆定理（Gersghorin Circle Thorem）
盖尔金圆定理（Gersghorin Circle Thorem）是线性代数中一个有趣而实用的定理，可以用它来描述矩阵的特征值。首先我们先来看一下盖尔金圆定理。 （盖尔金圆定理）对于任意的 n n 阶方阵AA，若 λ λ 是 A A 的一个特征值，则存在1≤i≤n1≤i≤n,使得 |λ−aii|≤∑j=1,j≠in|aij|. | λ − a i i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | . 证明： 若 λ λ 是 A A 的一个特征值，设其特征向量为xx，可以选取 i i 使得|xi|=maxj=1,2,...,n|xj|=1,|xi|=maxj=1,2,...,n|xj|=1,这总是可以做到的，因为特征向量乘上任何数（除0外）仍为特征向量。 根据特征值和特征向量的定义，有 Ax=λx A x = λ x ,因此有： ∑j=1naijxj=λxi. ∑ j = 1 n a i j x j = λ x i . 从而： |(λ−aii)xi|=|λ−aii|≤∑j=1,j≠in|aijxj|≤∑j=1,j≠in|aij|. | ( λ − a i i ) x i | = | λ − a i i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j x j | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | . 证明完毕 对于任意一个方阵，我们只要画出它在复平面上的盖尔金圆，就能推测出特征值的分布情况了，因为该方阵的所有特征值总是在这些圆中某一个内。 下面给出如何在复平面上画方阵的盖尔金圆的Python代码，如下： # Plotting Gershgorin Circles for any square matrix from matplotlib.patches import Circle import matplotlib.pyplot as plt from math import sqrt import numpy as np # example matrix, each entity can be complex number A = np.array([[5, 0, 0, -1], [1, 0, -1, 0], [-1.5, 1, -2, 1], [-1, 1, 1, -3j] ],dtype='complex') # begin plotting figure fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111) # Circle: |A[i,i]-z| ∑j=1,j≠in|aij|,∀i=1,2,...,n. | a i i | > ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | , ∀ i = 1 , 2 , . . . , n . 通俗地来理解，就是主对角线上的每个元素的模（或者绝对值）都大于该元素所在行的所有元素（除掉它本身）的模（或者绝对值）的总和。 下面给出SDD的几个重要性质。 （SDD的性质）SDD必定是非奇异矩阵。 证明：若 A A 为SDD，它不是非奇异矩阵，则AA至少有一个特征值为0，从而由盖尔金圆定理可知，存在 1≤i≤n 1 ≤ i ≤ n ,使得 |aii|≤∑j=1,j≠in|aij|. | a i i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | . 此与SDD的定义矛盾。从而SDD必定是非奇异矩阵。（SDD的性质）若 A A 为SDD，则Ax=bAx=b有解。 证明：因为 A A 为SDD，故AA可逆，从而 x=A−1b. x = A − 1 b . （SDD的性质）若 A A 为SDD，则对于方程Ax=bAx=b, Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法收敛。 证明：因为我们还没讲到Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法，因此我们将在之后的博客中给出该性质的证明，敬请期待。 |
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