在之前的篇章里，有许多求解线性方程的迭代方法，如最陡下降法，可以通过向量乘法和各种简单的向量运算，简化为一个单个矩阵的循环。将矩阵化为三对角形式的Lanczos方法，保留其特征值的同时，使用类似的计算方式，实际上与共轭梯度法相关联。 在这种方法中，变换矩阵[P]是用相互正交的向量构造的。通常我们求对称矩阵的特征值由下式开始： 确保[P]T [P]=[I]的一种方法是构造互相正交的，单位长度的正交化向量，如{P}， {q}和{r}构造[P]。以3 × 3矩阵为例，可以得到 在Lanczos方法中，要求得到的[P]T [A][P]是一个对称的三对角矩阵 所以 因为[P]是由正交向量组成的 可以展开上面的式子

将上式的第一，第二和第三分别乘以{p}T， {q}T和{r}T，并注意向量的正交性，得到

构造“Lanczos向量”{p}、{q}和{r}，并求解三对角形式αi和βi，可以遵循以下算法: 1)开始猜一个单位长度的向量{p}(如[1 0 0]T) 2)通过方程2，计算α1 = {p}T [A]{p} 3)通过方程1，计算β1{q} = [A]{p}−α1{p} 4) {q}的长度是一个单位，因此通过正交化计算β1和{q} 5)由方程2，计算α2 = {q}T [A]{q} 6)有方程1计算β2 {r} =[A]{q}−α2{q}−β1{p} 7) {r}是单位长度，因此通过正交化计算β2和{r} 8)由式2计算α3 = {r}T [A]{r}等。 通常，对于一个n × n矩阵[A]，将[P]的正交向量列记为{y}j, j = 1,2，···，n，程序使用的算法如下(设β0 = 0) 程序如下：

终端输出结果