整理一下矩阵论学习中的相关概念。从正交矩阵开始

定义1 称n阶方阵A是正交矩阵，若 A^TA=I

正交矩阵有几个重要性质：

上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则，我们可以通过上述准则简单地判断一个矩阵是否是正交矩阵。下面，我们将从线性变换的角度，来看正交矩阵还有哪些独特的性质。首先给出正交变换的定义：

定义2 欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，若 \forall \alpha,\beta\in V，有 = 。

注意，正交变换在任意标准正交基下的矩阵是正交阵，这也是我们通过正交矩阵研究正交变换的理论基础。

我们知道，线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的，但满足相似条件。因此，我们可以通过矩阵的相似不变量来对正交变换进行分类。正交变换有两种特殊的类型，分别是旋转变换和镜像变换，它们的区别也正好可以对应于两类不同的正交矩阵，它们具有不同的行列式取值。

首先我们来看旋转矩阵。旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候，改变向量的方向但不改变向量长度的矩阵。对于旋转矩阵，我们有：

性质1 一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是1。

旋转矩阵的行列式为1，那么它的特征值等于多少呢？我们知道矩阵的行列式等于特征值的乘积，即

\left| A \right|=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}

那么旋转矩阵的特征值可以有以下多种情况：

这里引用维基百科中关于旋转矩阵的一个表述：“旋转矩阵不包括反演，反演可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。”这里的反演，就是我们所说的镜像。也就是说，偶数个-1的特征值保证了旋转矩阵不会将右手坐标系变为左手坐标系（或反之），这是旋转变换与镜像变换的根本区别。

根据上面的分析，下面两个关于正交矩阵的性质就非常容易理解了：

性质2 若 \lambda 是正交矩阵A的一个特征值，则 \lambda^{-1} 也是A的一个特征值，且有 \left| \lambda \right|=1

性质3 若奇数阶正交矩阵的行列式 \left| A \right|=1 ，则1是A的一个特征值。

接下来，我们来看第二类正交矩阵，镜像变换矩阵（Reflection matrix），或Householder矩阵。Householder矩阵对应的正交变换称为镜像变换，它是一类在n维空间中沿n-1维平面做的一种线性变换。这个n-1维平面通常记为 \Pi_{\omega} ，将其单位法向量记为 \omega 。如果 \omega 已知（一般来说这是问题的出发点），我们可以通过 \omega 来构造镜像矩阵，计算公式为：

H_{\omega}=I-2\omega\omega^{T}

注意，这里的单位法向量 \omega 是一个列向量。

Householder矩阵有n-1个特征值为1，余下一个特征值为-1。下面给出证明：设矩阵 \omega\omega^{T} 的特征值为 \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n ，则Householder矩阵 H_{\omega} 的特征值必为 1-2\lambda_i,i=1,2,...,n. 又 \omega\omega^{T} 是秩为1的幂等矩阵，可知它的特征值是 1,0,...,0 ，所以，H_{\omega} 的特征值是 -1,1,...,1.

Householder矩阵同时是对称矩阵。既正交又对称的矩阵有一个特殊性质是它的幂为I，即 A^2=I .

根据上面的分析，下面关于正交矩阵的性质就非常容易理解了：

性质4 若正交矩阵的行列式 \left| A \right|=-1 ，则-1是A的一个特征值。

了解了两种特殊的正交矩阵，我们来看一下正交矩阵几个更一般的性质。

性质5 若A为正交矩阵， \lambda 是矩阵A的特征值，则 \frac{1}{\lambda} 也是A的一个特征值。

证明：由 A\xi=\lambda\xi\Rightarrow\bar{A}\bar{\xi}=\bar{\lambda}\bar{\xi} ，因为正交矩阵为实矩阵， \bar{A}=A ，又因为 \bar{\lambda}\lambda=1\Rightarrow\bar{\lambda}=\frac{1}{\lambda} ，因此 A\bar{\xi}=\frac{1}{\lambda}\bar{\xi} ，即 \frac{1}{\lambda} 也是A的一个特征值。

性质6 若正交矩阵A的特征值为实数，则A一定为对称矩阵。

这个性质的证明需要用到Schur定理，即任意方阵A都可以酉相似于上三角阵R，且这个上三角阵R的对角元素为矩阵A的特征值 \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n.

证明：由Schur定理，A的特征值为实数，A可正交相似于上三角阵R，即 Q^TAQ=R ，对其转置，两式相乘得 Q^TAQQ^TA^TQ=RR^T，注意到 AA^T=A^TA=I，于是得到 R^TR=Q^TQ=I ，可知R为对角阵，因此 A=QRQ^T=QR^TQ^T=A^T.

也可以通过正规矩阵来证明：A是正交矩阵 \Rightarrow A是正规矩阵 \Rightarrow A可酉对角化，又特征值为实数 \Rightarrow A为Hermite矩阵 \Rightarrow A为实对称矩阵。