矩阵分析之 实矩阵分解(5)矩阵分解法总结 |
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矩阵分析之 实矩阵分解(5)总结
前言特征分解(谱分解)SVD分解LU和PLU分解Cholesky分解(LLT,LDLT分解)满秩分解QR分解使用场景推荐
前言
之前的四篇内容分别介绍了特征分解,SVD分解,LU和PLU分解,Cholesky分解,满秩分解和QR分解,现在来进行总结。 特征分解(谱分解)对于n阶方阵A,如果具有n个线性无关的特征向量,则可以进行特征分解: A = P Λ P − 1 A=P\Lambda P^{-1} A=PΛP−1 其中, P P P是 A A A的特征向量组成的矩阵, Λ \Lambda Λ是 P P P对应的特征值对角矩阵。 特征分解的速度一般,精度一般。当特征值固定从大到小排列时,分解结果唯一。 SVD分解对于任意矩阵 A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} A∈Rm×n,都可以进行SVD奇异值分解: A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT 其中, U ∈ R m × m U\in R^{m\times m} U∈Rm×m是 A A T AA^T AAT的正交对角化的正交矩阵, V ∈ R n × n V\in R^{n\times n} V∈Rn×n是 A A T AA^T AAT是 A T A A^TA ATA的正交对角化的正交矩阵, Σ ∈ R m × n = [ d i a g { λ A T A } 0 ] , m > n ; Σ ∈ R m × n = [ d i a g { λ A A T } 0 ] , m < n \Sigma\in R^{m\times n}=\begin{bmatrix} diag\{\sqrt\lambda_{A^TA}\} \\ 0 \end{bmatrix},m>n;\Sigma\in R^{m\times n}=\begin{bmatrix} diag\{\sqrt\lambda_{AA^T}\} \quad 0 \end{bmatrix},mλ AAT}0],m |
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