对于目标函数： f = log ⁡ ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) f = \log (\log (\left| {\bf{X}}\right|)) f=log(log(∣X∣)) 目标求取其关于变量 X \mathbf{X} X的梯度: ∇ f = ∂ log ⁡ ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) ∂ X (1) \nabla f= \frac{{\partial \log (\log (\left| {\bf{X}} \right|))}}{{\partial {\bf{X}}}} \tag{1} ∇f=∂X∂log(log(∣X∣))​(1) 其中 X \mathbf{X} X是矩阵。

由微分的定义，我们有： d f = t r ( ( ∇ f ) T d X ) (2) \mathrm{d}f = \mathrm{tr}((\nabla f)^T \mathrm{d}\mathbf{X}) \tag{2} df=tr((∇f)TdX)(2) 注意， 这里的 f f f可以换做任何 X \mathbf{X} X的函数， (2)仍成立。 本文仍以 log ⁡ ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) \log (\log (\left| {\bf{X}}\right|)) log(log(∣X∣))为例求解。

（2）式启示我们：将 d f \mathrm{d}f df 化成 d f = t r ( G d X ) \mathrm{d}f=\mathrm{tr}(\mathbf{G}\mathrm{d}\mathbf{X}) df=tr(GdX)的形式， 就可以得到 ∇ f = G T \nabla f = \mathbf{G}^T ∇f=GT.

对于 f = log ⁡ ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) f = \log (\log (\left| {\bf{X}}\right|)) f=log(log(∣X∣))，有： d log ⁡ ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) = ( a ) ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) − 1 d ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) = ( b ) ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) − 1 ∣ X ∣ − 1 d ( ∣ X ∣ ) = ( c ) ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) − 1 ∣ X ∣ − 1 ∣ X ∣ t r ( X − 1 d X ) = ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) − 1 t r ( X − 1 d X ) = ( e ) t r ( ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) − 1 X − 1 d X ) (3) \begin{array}{l} {\rm{d}}\log (\log (\left| {\bf{X}} \right|))\\ \mathop {\rm{ = }}\limits^{(a)} {{\rm{(}}\log (\left| {\bf{X}} \right|))^{ - 1}}{\rm{d(}}\log (\left| {\bf{X}} \right|))\\ \mathop {\rm{ = }}\limits^{(b)} {{\rm{(}}\log (\left| {\bf{X}} \right|))^{ - 1}}{\left| {\bf{X}} \right|^{ - 1}}{\rm{d(}}\left| {\bf{X}} \right|)\\ \mathop {\rm{ = }}\limits^{(c)} {{\rm{(}}\log (\left| {\bf{X}} \right|))^{ - 1}}{\left| {\bf{X}} \right|^{ - 1}}\left| {\bf{X}} \right|{\rm{tr(}}{{\bf{X}}^{ - 1}}{\rm{d}}{\bf{X}}{\rm{)}}\\ {\rm{ = (}}\log (\left| {\bf{X}} \right|){)^{ - 1}}{\rm{tr(}}{{\bf{X}}^{ - 1}}{\rm{d}}{\bf{X}}{\rm{)}}\\ \mathop {\rm{ = }}\limits^{(e)} {\rm{tr((}}\log (\left| {\bf{X}} \right|){)^{ - 1}}{{\bf{X}}^{ - 1}}{\rm{d}}{\bf{X}}{\rm{)}} \tag{3} \end{array} dlog(log(∣X∣))=(a)(log(∣X∣))−1d(log(∣X∣))=(b)(log(∣X∣))−1∣X∣−1d(∣X∣)=(c)(log(∣X∣))−1∣X∣−1∣X∣tr(X−1dX)=(log(∣X∣))−1tr(X−1dX)=(e)tr((log(∣X∣))−1X−1dX)​(3)

将（3）式最后结果: d log ⁡ ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) = t r ( ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) − 1 X − 1 d X ) {\rm{d}}\log (\log (\left| {\bf{X}} \right|)) = {\rm{tr((}}\log (\left| {\bf{X}} \right|){)^{ - 1}}{{\bf{X}}^{ - 1}}{\rm{d}}{\bf{X}}{\rm{)}} dlog(log(∣X∣))=tr((log(∣X∣))−1X−1dX) 与 (2)比较，有： ∇ f = ( log ⁡ ( ∣ X ∣ ) ) − 1 X − 1 ) T \nabla f =(\log (\left| {\bf{X}} \right|){)^{ - 1}}{{\bf{X}}^{ - 1}})^T ∇f=(log(∣X∣))−1X−1)T 求解完毕。