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4.4.2对数函数的 图象和性质 复习导入 一般地，函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). ? 注：①????????????????????系数是1 ②底数????为大于0且不等于1的常数 ③对数的真数仅有自变量???? ? 复习导入 思考：要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验？ ? 学习函数的一般模式(方法)： 解析式（定义） 图象 性质 应用 数形结合 分类讨论 新知探究 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}y=log2x x y 0.25 -2 0.5 -1 1 0 2 1 4 6 8 12 活动1：使用描点法画出y=log2x的图像 o x y - 1 . . . . y=log2x {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}图象特征 代数表述 定义域 （0,+∞） 值 域 : R 在(0,+∞)上递增 图象位于????轴右方 ? 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升 活动2：在同一坐标系中作出函数????=????????????12????的图象.你有什么发现？ ? 新知探究 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}y=lo????12x x y 0.25 2 0.5 1 1 0 2 -1 4 6 8 12 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} x y 0.25 2 0.5 1 1 0 2 -1 4 6 8 12 = = -log2x log2 x -1 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y=lo????????????x ? y=log2x 新知探究 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于什么对称？ (x, y) (x, -y) 新知探究 活动3：类似的，你能画出????=????????????3????和????=????????????13????的图象吗？ ? ????=????????????2???? ? ????=????????????12???? ? ????=????????????3???? ? ????=????????????13???? ? ????>1时，底大图低 ? 新知探究 思考：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？ {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}对数函数的图象特征 对数函数的相关性质 a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1

函数定义域为(0,+∞) 非奇非偶函数 函数的值域为????，渐近线为????轴 ? loga1=0?过定点1,0 ? 当x>1时，y>0 当00 当0当x>1时，y增函数 减函数 新知探究 例3：比较下列各题中两个值的大小： (1)????????????23.4，????????????28.5； (2)????????????0.31.8，????????????0.32.7； (3)????????????????5.1，????????????????5.9. ? 解：(1)∵????=????????????2????在定义域上单调递增 而3.4(2)∵????=????????????0.3????在定义域上单调递减 而1.82.7，∴????????????0.31.8>????????????0.32.7. (3)∵????=???????????????????? ∴当????>1时，????=????????????????????在定义域上单调递增 而5.1>5.9,∴????????????????5.1???????????????5.9 当0??? 而5.1????????????????5.9 ? 新知探究 1）当底数相同， 利用对数函数y=logax的单调性证明； 2）当真数相同， 利用函数图像或换底公式； 3）当底数、真数都不同， 利用中间量（多数利用1和0）； 对数比较大小 练习巩固 练习1：比较下列各题中两个值的大小： (1)????????????50.75，????????????51.35； (2)????????????123，????????????143； (3)????????????23，????????????54. ? 解：(1)对数函数????=????????????5????在(0,+∞)上单调递增， 而0.75(2)由于????????????123=1????????????312，????????????143=1????????????314，又对数函数????=????????????3????在(0,+∞)上单调递增，且0∴1????????????312(3)(中间值法)∵????????????23>????????????22=1，????????????54???????????55=1， ∴????????????23>????????????54. ? 练习巩固 变式1：已知 ????=????????????20.2，????=20.2，????=0.20.3则（ ）. A.?????????? B.?????????? C.c?????? D.?????????? ? 【答案】：???? 分析：∵????=????????????20.2???????????21=0，????=20.2>20=1， ????=0.20.30，即0??? ∴??????????. 故选B. ? 练习巩固 练习2：解下列不等式： (1)????????????17????>????????????17(4?????)； (2)????????????????12>1； ? 解：(1)据题意得：????>04?????>0????(2)当????>1时，????????????????12>1=????????????????????，解得???? 当0???1=????????????????????，解得????>12.此时，12??? 即不等式的解集为{????|12???? 练习巩固 练习2：解下列不等式：(3)????????????????(2?????5)>????????????????(?????1). ? 解：(3)当????>1时，2?????5>0?????1>02?????5>?????1 ，解得????>4.即不等式的解集为{????|????>4}. 当0???0?????1>02?????5????1，解得52???综上，当????>1时，解集为{????|????>4}； 当0???? 练习巩固 变式2-1：不等式????????????13(5+????)???????????13(1?????)的解集为____________. ? 【答案】：(?2,1) ? 变式2-2：若????????????????34? 解：据题意得，????????????????34???????????????????. ①当????>1时，????=????????????????????是增函数，解得????>34，所以????>1； ②当0???综上所述，0???1. ? 新知探究 思考：对数函数 y = loga x 和指数函数 y=ax 的图象有何联系？ y=x o y=ax o y= logax y= ax y=x 新知探究 动态演示 新知探究 x, y 位置互换 y=logax 互为反函数 【结论】对数函数y = loga x和指数函数y=ax的图象关于直线y=x对称． y=logax和y=ax互为反函数 y=ax x=logay 练习巩固 练习3：在同一直角坐标系中，函数????=1????????，????=????????????????(????+12)(????>0且????≠1)的图象 可能是( ). ? 【答案】：???? ? 练习巩固 变式3-1：如图，若C1，????2分别为函数????=????????????????????和????=????????????????????的图象，则( ). ? A.0??????C.????>????>1 D.????>????>1 ? 【答案】：???? ? 变式3-2：画出函数 ????=|????????????2(????+1)| 的图象，并写出函数的值域和单调区间. ? 其值域为[0,+∞), 单调递增区间为[0,+∞)， 单调递减区间为(?1,0). ? 小结 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} ?????????? ????>???? 图象 定义域 (0,+∞) 值域 ???? 性质 过定点(1,0)，即????=1时，????=????????????????1=0 减函数 增函数 当????>1时，????当0???0. 当????>1时，????>0； 当0???????=????????????????????与????=????????????1????????的图象关于????轴对称 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 图象 定义域 值域 性质 减函数 增函数 对数函数的图象和性质 ????=????????????????????与????=???????? 互为反函数， 图象关于????=????对称。

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