[题目]如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2.9).与y轴交于点A(0.5).与x轴交于点E.B.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,(2)过点A作AC平行于x轴.交抛物线于点C.点P为抛物线上的一点.作PD平行于y轴交AB于点D.问当点P在何位置时.四边形APCD的面积最大?并求出最大面积,(3)若点M在抛物线上.点N在其对称轴上.使得以A. 题目和参考答案 |
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【答案】(1) 解:设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+9, ∵抛物线与y轴交于点A(0,5), ∴4a+9=5, ∴a=﹣1, y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5 (2) 解:当y=0时,﹣x2+4x+5=0, ∴x1=﹣1,x2=5, ∴E(﹣1,0),B(5,0), 设直线AB的解析式为y=mx+n, ∵A(0,5),B(5,0), ∴m=﹣1,n=5, ∴直线AB的解析式为y=﹣x+5; 设P(x,﹣x2+4x+5), ∴D(x,﹣x+5), ∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x, ∵AC=4, ∴S四边形APCD= ∴当x=﹣ ∴即:点P( (3) 解:如图, 过M作MH垂直于对称轴,垂足为H, ∵MN∥AE,MN=AE, ∴△HMN≌△AOE, ∴HM=OE=1, ∴M点的横坐标为x=3或x=1, 当x=1时,M点纵坐标为8, 当x=3时,M点纵坐标为8, ∴M点的坐标为M1(1,8)或M2(3,8), ∵A(0,5),E(﹣1,0), ∴直线AE解析式为y=5x+5, ∵MN∥AE, ∴MN的解析式为y=5x+b, ∵点N在抛物线对称轴x=2上, ∴N(2,10+b), ∵AE2=OA2+OE2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2, ∴MN2=(2﹣1)2+[8﹣(10+b)]2=1+(b+2)2 ∵M点的坐标为M1(1,8)或M2(3,8), ∴点M1,M2关于抛物线对称轴x=2对称, ∵点N在抛物线对称轴上, ∴M1N=M2N, ∴1+(b+2)2=26, ∴b=3,或b=﹣7, ∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为(1,8)时,N点坐标为(2,13), 当M点的坐标为(3,8)时,N点坐标为(2,3) 【解析】(1)设出抛物线解析式,用待定系数法求解即可;(2)先求出直线AB解析式,设出点P坐标(x,﹣x2+4x+5),建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x,根据二次函数求出极值;(3)先判断出△HMN≌△AOE,求出M点的横坐标,从而求出点M,N的坐标.【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a |
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