离散随机变量的概率密度函数

概率密度函数，是描述随机变量在不同取值上出现的概率分布的函数。如果随机变量

是离散型的，那么对应的概率密度函数就是概率质量函数。

在概率论和数理统计中，离散型随机变量是指其取值只能在离散值集合内取值的随机

变量。这意味着其在连续区间内的所有值都只是离散化的取值。

离散随机变量的概率密度函数是指该随机变量取各个可能取值的概率。

设离散随机变量

X

取值为

$x_1, x_2, ..., x_n$

，则

X

的概率密度函数为：

    $P(X=x_i)=p_i,i=1,2,3,...,n$

其中每个

$p_i$

表示

Xi

取值为

$x_i$

的概率，因此

$p_i$

满足以下条件：

    $0\leq p_i\leq1$

，

$\sum\limits_{i=1}^np_i=1$

这里需要注意的是，概率密度函数只在随机变量取离散值时有意义，只在特定的取值

点上才具有意义。

    1. 

非负性

离散随机变量的概率密度函数必须是非负的，即对于任意的

$x_i$

都有

$p_i\geq0$

。

    2. 

归一性

离散随机变量的概率密度函数必须满足归一性，即所有可能出现的情况的概率之和等

于

1

。

    3. 

概率加法公式

设离散随机变量

$X$

的概率密度函数为

$p_i$

，而

$A$

是

$X$

的一个事件，则

即

$A$

事件的概率就是随机变量

$X$

取值为

$A$

中各个元素的概率之和。

    1. 

抛硬币

假设有一枚正面朝上和反面朝上的概率相等的硬币。当我们抛掷硬币时，我们可以定

义一个随机变量

$X$

来表示硬币落在正面的次数。

显然，如果我们抛掷硬币

1

次，那么

$X$

只能取

0

或

1

，

$P(X=0)=\frac{1}{2}$

，

$P(X=1)=\frac{1}{2}$

。

    2. 

掷骰子