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求“一维随机变量的期望E(X)与方差D(X)”例题（一）

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求“一维随机变量的期望E(X)与方差D(X)”例题（一）

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离散型

设随机变量X的分布律

X012P0.40.30.3

(1)求E(X)

上下相乘相加即可得到数学期望。

$E(X)=0 \times 0.4 + 1 \times 0.3 +2 \times 0.3 =0.9$

(2)设 $Y=X^2$ ，求E(Y)

直接代入即可。

$\\ \because Y=X^2 \\ \therefore E(Y)=E(X^2)=0^2 \times 0.4 +1^2 \times 0.3 +2^2 \times 0.3 = 1.5$

(3)求D(X)

由公式 $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$ 可以得到

$D(X)=1.5-0.9^2=0.69$

连续型

设设随机变量X 的概率密度为

$f(x)\left\{\begin{matrix} \frac{3}{8}x^2,0x2 & & \\ 0,other & & \end{matrix}\right.$

(1)求E(x)

先对 $xf(x)$ 从 $-\infty$ 到 $\infty$ 上求积分。(是 $xf(x)$ 不是 $f(x)$ !!!)，即 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 。

由于在(0,2)以外的区间 $f(x)=0$ ，求积分后仍为0。我们可以得到：

$\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx = \int_{0}^{2}\frac{3}{8}x^3dx+0$

$\int_{0}^{2}\frac{3}{8}x^3dx=\frac{3}{32}x^4 \left.\begin{matrix} \\ \ \end{matrix}\right|_{0}^{2}$

最后得到结果 $\frac{3}{2}-0=\frac{3}{2}$

(2)设 $Y=X^2$ ，求E(Y)

对 $x^2f(x)$ 从 $-\infty$ 到 $\infty$ 上求积分。即 $E(Y)=E(x^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$ 。

注意这里不是 $\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x^2)dx$ ，这是因为：

$Y=g(x)=x^2$

$E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx$

又因为 $g(x)=x^2,f(x)=\frac{3}{8}x^2$

代入可得 $\int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{3}{8}x^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{3}{8}x^4dx$

求其定积分可得：

$\int_{0}^{2}\frac{3}{8}x^4dx=\frac{3}{40}x^5 \left.\begin{matrix} \\ \ \end{matrix}\right|_{0}^{2}$

最后结果为 $\frac{12}{5}-0=\frac{12}{5}$

(3)求D(X)

公式和离散型的一样

直接得到 $D(X)=\frac{12}{5}-\frac{9}{4}=\frac{3}{20}$

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