在宽带阵列信号处理中，阵列接收到的信号包络不再恒定，相位延迟和时延不再是简单的线性关系。

M M M个阵元组成的阵列，接收空间中 P P P个宽带信号，入射角度分别为 θ 1 , θ 2 , ⋯   , θ P \theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_P θ1​,θ2​,⋯,θP​，则第 k k k个阵元接收到的信号可表示为 x k ( t ) = ∑ i = 1 P s i [ t + τ k ( θ i ) ] + n k ( t ) x_k(t)=\sum_{i=1}^P s_i[t+\tau_k(\theta_i)]+n_k(t) xk​(t)=i=1∑P​si​[t+τk​(θi​)]+nk​(t)

傅里叶变换的时延定理：信号时延后的傅里叶变换等于信号傅里叶变换的相位延迟 如果 s ( t ) s(t) s(t) 的傅里叶变换为 s ( f ) s(f) s(f)，即 F T [ s ( t ) ] = s ( f ) FT[s(t)]=s(f) FT[s(t)]=s(f) 那么 F T [ s ( t + τ ) ] = s ( f ) e j 2 π τ FT[s(t+\tau)]=s(f)e^{j2\pi\tau} FT[s(t+τ)]=s(f)ej2πτ

把第k个阵元接收到的信号，两边做傅里叶变换得到 x k ( f ) = ∑ i = 1 P s i ( f ) e j 2 π f τ k ( θ i ) + n k ( f ) x_k(f)=\sum_{i=1}^P {s_i(f)}e^{j2\pi f\tau_k(\theta_i)}+n_k(f) xk​(f)=i=1∑P​si​(f)ej2πfτk​(θi​)+nk​(f) 写成矩阵形式 X f = A ( f , θ ) S ( f ) + N ( f ) \mathbf{X}_f=\mathbf{A}(f,\theta)\mathbf{S}(f)+\mathbf{N}(f) Xf​=A(f,θ)S(f)+N(f)

其中方向矩阵为 A ( f , θ ) = [ e j 2 π f τ 1 ( θ 1 ) e j 2 π f τ 1 ( θ 2 ) ⋯ e j 2 π f τ 1 ( θ P ) e j 2 π f τ 2 ( θ 1 ) e j 2 π f τ 2 ( θ 2 ) ⋯ e j 2 π f τ 2 ( θ P ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e j 2 π f τ M ( θ 1 ) e j 2 π f τ M ( θ 2 ) ⋯ e j 2 π f τ M ( θ P ) ] \mathbf{A}(f,\mathbf{\theta})= \left[ \begin{matrix} e^{j2\pi f\tau_1(\theta_1)} ; e^{j2\pi f\tau_1(\theta_2)} ;\cdots ;e^{j2\pi f\tau_1(\theta_P)} \\e^{j2\pi f\tau_2(\theta_1)} ; e^{j2\pi f\tau_2(\theta_2)} ;\cdots ;e^{j2\pi f\tau_2(\theta_P)} \\ \vdots ;\vdots ;\ddots ;\vdots \\e^{j2\pi f\tau_M(\theta_1)} ; e^{j2\pi f\tau_M(\theta_2)} ;\cdots ;e^{j2\pi f\tau_M(\theta_P)} \end{matrix} \right] A(f,θ)=⎣⎢⎢⎢⎡​ej2πfτ1​(θ1​)ej2πfτ2​(θ1​)⋮ej2πfτM​(θ1​)​ej2πfτ1​(θ2​)ej2πfτ2​(θ2​)⋮ej2πfτM​(θ2​)​⋯⋯⋱⋯​ej2πfτ1​(θP​)ej2πfτ2​(θP​)⋮ej2πfτM​(θP​)​⎦⎥⎥⎥⎤​

与窄带信号的方向矩阵不同的是，窄带模型中的频率为固定的单值，这里的频率为信号的整个频带。

当对数字信号进行 J J J点离散傅里叶变换时，频率点也为 J J J个离散点，那么 X ( f j ) = A ( f j , θ ) S ( f j ) + N ( f j ) ( j = 0 , 1 , ⋯   , J ) \mathbf{X}{(f_j)}=\mathbf{A}{(f_j,\mathbf{\theta})} \mathbf{S}{(f_j)}+\mathbf{N}{(f_j)}(j=0,1,\cdots,J) X(fj​)=A(fj​,θ)S(fj​)+N(fj​)(j=0,1,⋯,J) 其中，方向矩阵为 A ( f j , θ ) = [ e j 2 π f j τ 1 ( θ 1 ) e j 2 π f j τ 1 ( θ 2 ) ⋯ e j 2 π f j τ 1 ( θ P ) e j 2 π f j τ 2 ( θ 1 ) e j 2 π f j τ 2 ( θ 2 ) ⋯ e j 2 π f j τ 2 ( θ P ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e j 2 π f j τ M ( θ 1 ) e j 2 π f j τ M ( θ 2 ) ⋯ e j 2 π f j τ M ( θ P ) ] = [ a ( θ 1 , f j ) a ( θ 2 , f j ) ⋯ a ( θ P , f j ) ] ( j = 0 , 1 , 2 , ⋯   , J ) \begin{aligned} \mathbf{A}(f_j,\mathbf{\theta});= \left[ \begin{matrix} e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_1)} ; e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_2)} ;\cdots ;e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_P)} \\e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_1)} ; e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_2)} ;\cdots ;e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_P)} \\ \vdots ;\vdots ;\ddots ;\vdots \\e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_1)} ; e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_2)} ;\cdots ;e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_P)} \end{matrix} \right]\\ ;=[\mathbf{a}(\theta_1,f_j)\qquad \mathbf{a}(\theta_2,f_j)\qquad \cdots \qquad \mathbf{a}(\theta_P,f_j)](j=0,1,2,\cdots,J) \end{aligned} A(fj​,θ)​=⎣⎢⎢⎢⎡​ej2πfj​τ1​(θ1​)ej2πfj​τ2​(θ1​)⋮ej2πfj​τM​(θ1​)​ej2πfj​τ1​(θ2​)ej2πfj​τ2​(θ2​)⋮ej2πfj​τM​(θ2​)​⋯⋯⋱⋯​ej2πfj​τ1​(θP​)ej2πfj​τ2​(θP​)⋮ej2πfj​τM​(θP​)​⎦⎥⎥⎥⎤​=[a(θ1​,fj​)a(θ2​,fj​)⋯a(θP​,fj​)](j=0,1,2,⋯,J)​

如果再将观察时间 T 0 T_0 T0​内的阵列接收数据分为 L L L个子段，每段时间为 T d T_d Td​，然后对观察数据进行 J J J点离散傅里叶变换，只要子段 T d T_d Td​ 相比噪声的相关时间较长（保证DFT后的数据不相关），宽带模型就变为 X l ( f j ) = A ( f j , θ ) S l ( f j ) + N l ( f j ) \mathbf{X}_l(f_j)=\mathbf{A}(f_j,\theta)\mathbf{S}_l(f_j)+\mathbf{N}_l(f_j) Xl​(fj​)=A(fj​,θ)Sl​(fj​)+Nl​(fj​)

其中， J J J是指将带宽 B B B的宽带信号划分为 J J J个子带的个数，对于子带对应的不同频率点 f 1 , f 2 , ⋯   , f J f_1,f_2,\cdots,f_J f1​,f2​,⋯,fJ​，均成立。