容斥原理-三集合

陕西分校 韩丽攀

　　数量关系是我们行测中非常重要的模块，也是很多考生寄予厚望的模块，只有这部分模块是我们可以保证正确率的模块。此模块需要我们在较短的时间内迅速的做出答案，一般需要1分钟一道题，好多同学都曾有这种感觉，考场上不会，考完了一看“这题我会呀”。这是为什么?答案是我们并没有真正的掌握不同题型的区分，尤其是是在紧张和紧迫的范围下，更容易忽略一些重要题干信息的区分。比如今天我们要分享的容斥原理，好多文科生在高中的时候并没有接触过。现在重新学习较难理解。所以这就需要我们认真学习，由浅入深，先从最基础的理解开始，理解之后再学习运用。运用的同时要多做真题，从真题中总结规律。通过多年的省考真题分析，容斥原理属于选考题目。难度一般较简单，如果出现考题，是必须要得分的题目。容斥原理一般分为二集合和三集合。因为三集合相对较难，所以今天我们分享一下三集合的标准型和非标准型的公式的区分。

　　一、题型识别

　　题干中给出三个集合，满足条件A的情况数、满足条件B的情况数、满足条件C的情况数、满足1个条件的情况数、满足2个条件的情况数、同时满足3个条件的情况数、总数、都不满足的情况数，让求其中任意一种情况数。

　　二、解题思路

　　容斥原理我们在高中学习过，容斥原理的本质就是找到重复，去除重复的过程，一般采用公式法解决，标准和非标的公式如下：

　　标准型：总数-都不满足的个数=A+B+C

　　                                                -AB-AC-BC

　　                                                +ABC

　　非标准型：总数-都不满足的个数=A+B+C

　　                                                    -只满足两个条件的情况数

　　                                                    -2×ABC

　　标准和非标的区分就在满足两个条件的情况上，标准型的满足两个条件的情况数是包含满足三个条件的情况数，一般在题干中，会分三句话分别给出;而非标型满足两个条件的情况数是不包含满足三个条件的情况数，一般在题干中，一句话直接给出。

　　三、真题讲解

　　【例1】一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点?

　　A.29B.31

　　C.35D.37

　　【答案】A

　　【解析】解法一：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。第二步，设去A、C景点的游客有x位，根据三集合标准型公式可得：35+32+27-20-15-x+8=50-1，解得x=18，则恰好去了两个景点的人数为20+15+18-3×8=29(位)。

　　因此，选择A选项。

　　解法二：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。第二步，设去两个景点的人数为y，根据三集合非标准型公式可得：35+32+27-y-2×8=50-1，解得y=29。因此，选择A选项。

　　【例2】某机构调查居民订阅报纸的情况，发现30%的家庭订阅了日报，35%的家庭订阅了早报，45%的家庭订阅了晚报，10%的家庭没有订阅任何一种报纸，若每个家庭都不会同时订早报和晚报，则同时订阅日报和早报的家庭的比例在多少范围之内?

　　A.0—10%B.10%—20%

　　C.0—20%D.20%—30%

　　【答案】C

　　【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。

　　第二步，根据“都不会同时订阅”可知，同时订三种报纸的为0。第三步，设同时订阅日报和早报的为x，同时订阅日报和晚报的为y。根据三集合容斥原理得：100%=30%+35%+45%-x-y-0+0+10%，解得x+y=20%。因此x在0~20%之间。因此，选择C选项。

　　以上就是容斥原理中三集合标准型和非标准型公式的区分，是我们必须要掌握的。如果能够理解题干信息，我们就从题干中寻找满足两个条件的情况数是否包含三个条件都满足的情况数。如果题干信息不容易理解，我们就可以简单粗暴的看，满足两个条件的情况数是分三句话还是一句话给出的。两种判断的方法都可以。此模块出题形式较单一，一般都是公式的直接运用，所以需要我们熟练掌握公式，做好区分判断，一定可以拿到这帮你上岸的1分。最后预祝大家成功上岸。容斥原理-三集合

　　数量关系是我们行测中非常重要的模块，也是很多考生寄予厚望的模块，只有这部分模块是我们可以保证正确率的模块。此模块需要我们在较短的时间内迅速的做出答案，一般需要1分钟一道题，好多同学都曾有这种感觉，考场上不会，考完了一看“这题我会呀”。这是为什么?答案是我们并没有真正的掌握不同题型的区分，尤其是是在紧张和紧迫的范围下，更容易忽略一些重要题干信息的区分。比如今天我们要分享的容斥原理，好多文科生在高中的时候并没有接触过。现在重新学习较难理解。所以这就需要我们认真学习，由浅入深，先从最基础的理解开始，理解之后再学习运用。运用的同时要多做真题，从真题中总结规律。通过多年的省考真题分析，容斥原理属于选考题目。难度一般较简单，如果出现考题，是必须要得分的题目。容斥原理一般分为二集合和三集合。因为三集合相对较难，所以今天我们分享一下三集合的标准型和非标准型的公式的区分。

　　一、题型识别

　　题干中给出三个集合，满足条件A的情况数、满足条件B的情况数、满足条件C的情况数、满足1个条件的情况数、满足2个条件的情况数、同时满足3个条件的情况数、总数、都不满足的情况数，让求其中任意一种情况数。

　　二、解题思路

　　容斥原理我们在高中学习过，容斥原理的本质就是找到重复，去除重复的过程，一般采用公式法解决，标准和非标的公式如下：

　　标准型：总数-都不满足的个数=A+B+C

　　                                                -AB-AC-BC

　　                                                +ABC

　　非标准型：总数-都不满足的个数=A+B+C

　　                                                   -只满足两个条件的情况数

　　                                                   -2×ABC

　　标准和非标的区分就在满足两个条件的情况上，标准型的满足两个条件的情况数是包含满足三个条件的情况数，一般在题干中，会分三句话分别给出;而非标型满足两个条件的情况数是不包含满足三个条件的情况数，一般在题干中，一句话直接给出。

　　三、真题讲解

　　【例1】一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点?

　　A.29B.31

　　C.35D.37

　　【答案】A

　　【解析】解法一：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。第二步，设去A、C景点的游客有x位，根据三集合标准型公式可得：35+32+27-20-15-x+8=50-1，解得x=18，则恰好去了两个景点的人数为20+15+18-3×8=29(位)。

　　因此，选择A选项。

　　解法二：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。第二步，设去两个景点的人数为y，根据三集合非标准型公式可得：35+32+27-y-2×8=50-1，解得y=29。因此，选择A选项。

　　【例2】某机构调查居民订阅报纸的情况，发现30%的家庭订阅了日报，35%的家庭订阅了早报，45%的家庭订阅了晚报，10%的家庭没有订阅任何一种报纸，若每个家庭都不会同时订早报和晚报，则同时订阅日报和早报的家庭的比例在多少范围之内?

　　A.0—10%B.10%—20%

　　C.0—20%D.20%—30%

　　【答案】C

　　【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。

　　第二步，根据“都不会同时订阅”可知，同时订三种报纸的为0。第三步，设同时订阅日报和早报的为x，同时订阅日报和晚报的为y。根据三集合容斥原理得：100%=30%+35%+45%-x-y-0+0+10%，解得x+y=20%。因此x在0~20%之间。因此，选择C选项。

　　以上就是容斥原理中三集合标准型和非标准型公式的区分，是我们必须要掌握的。如果能够理解题干信息，我们就从题干中寻找满足两个条件的情况数是否包含三个条件都满足的情况数。如果题干信息不容易理解，我们就可以简单粗暴的看，满足两个条件的情况数是分三句话还是一句话给出的。两种判断的方法都可以。此模块出题形式较单一，一般都是公式的直接运用，所以需要我们熟练掌握公式，做好区分判断，一定可以拿到这帮你上岸的1分。最后预祝大家成功上岸。

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