地区： 广东省 - 潮州市 - 饶平县

学校：饶平县鸿程中学

21.3 实际问题与一元二次… 初中数学       人教2011课标版

知识与技能：

（1）能根据问题中的数量关系列出一元二次方程并求解。

（2）根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，培养分析问题、解决问题的能力

过程与方法：经历“问题情境——建立模型——拓展应用”的过程，体会方程是刻画现实世界中某些问题的一个有效的数学模型。

情感态度与价值观：感受生活实际与数学的联系，增强学生的数学应用意识。

       本人所任教班级学生基础高低参差不齐，大部分同学学习积极性尚可，个别同学表现的还比较出色，但也有部分同学的理解能力和接受能力不尽人意，学习成绩极不理想。部分学生有主动学习的习惯，比较喜欢上数学课，学习热情也很高，并喜欢与老师相处，同学之间、师生之间常交流。但一部分学生学习习惯不是很好，整体水平不均。

重点：列一元二次方程解有关传播和增长率问题的应用题。

难点：分析问题中的等量关系。

教师活动：（1）通过前面的学习你知道解一元二次方程有那些方法吗？  你有何体会？

          （2）列一元二次方程解应用题分几步呢？应注意那些？

学生活动：讨论交流、然后发言回答。

教师归纳板书：

            解一元二次方程的方法：

             直接开方法、配方法、公式法、因式分解法

            列一元一次方程解应用题的步骤

             审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、作答

（3）和一元一次方程、二元一次方程一样，一元二次方程也可以作为反

映某些实际问题中数量关系的数学模型。

下面我们来看几个例子：

（一）教师用多媒体展示示探究1内容

教师布置：问题1、本题中有那些数量关系？

问题2、每一轮的传染源和传染之后的被感染的电脑是多少台?

学生活动：学生思考并交流，最后请几个学生代表发言，教师听取回答、并随时口头予以点评。

用多媒体展示本题中的数量关系：

设每轮感染中平均一台会感染了x台电脑，

则第一轮的传染源有          台，有             台被感染，

  第二轮的传染源有          台，有              台被感染. 

最后明确：开始的那台电脑、第一轮被感染台数、第二轮被感染台数、总台数，

                 第二轮最开始的那台电脑还会传染。

问题3、如何理解经过两轮感染后就会有81台电脑被感染？

问题4、如何利用已知数量关系列出方程，并解方程得出结论?

学生讨论后，教师明确，强调第一论后有ⅹ﹢1个台继续传染。然后学生在完成解题过程：                           

教师用投影仪展示学生完整解答过程：

解：设每轮感染中平均一台会感染了x台电脑，依题意，得

       1+x+x(1+x)=8

解得X1=8   X2=-10（不合题意，舍去）

答：每轮感染中平均一台会感染了8台电脑。

（二）小结与思考

小结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：

     第一步：审题，明确已知和未知；

     第二步：找相等关系；

     第三步：设元，列方程，并解方程；

     第四步：检验根的合理性；

     第五步：作答。

思考：

问题5：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

     （1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+8）3=729＞700

     答：3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

强调：格式、检验及学生做题过程中出现的问题。

教师归纳：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解方程的步骤类似即：审、设、找、列、                      解、答。这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以                      要检验这两个根是否符合实际问题的要求。

问题6：通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？

           （用多媒体展示传播问题中的数量关系）

（三）巩固应用（教师出示练习）

1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

①　教师出示分析的内容；  

②　学生合作完成解答过程；

③　教师出示完整解答过程。

（四）教师用多媒体出示探究2内容

分析：

①　计算两种药品的成本下降额，并思考乙种药品成本的年平均下降额较大,那么成本的年下降额和下降率是一样的吗？

②　你是如何理解下降额与下降率的？

（通过了解知道，年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数））

③　在该题中，若设甲种药品成本的年平均下降率为x，请填下表（表略）

请把问题（3）的完整过程写出来。

教师请学生代表发言，并作必要地补充，之后要求学生合作完成解答过程，最后教师出示完整解答过程。

　在该题中，若设乙种药品成本的平均下降率为y，请填下表（表略）

请把问题（4）的完整过程写出来。

教师请学生代表发言，并作必要地补充，之后要求学生合作完成解答过程，最后教师出示完整解答过程。

讨论思考：经过你的计算，你能得出什么结论？下降额大的药品他的下降率一定大吗？怎样全面的比较对象的变化状况呢？

学生通过思考、讨论、并发言

教师用用多媒体板书归纳 ：     

类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1+x)2=b或者a(1-x)2=b

（其中增长取+,降低取－）

1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(             )

A.500(1+x)3=720                 B.500(1+x)2=720 

C.500(1+x2)=720                  D.720(1+x)2=500

2.某电脑公司2008年的各项经营中，1月份的营业为2万元，如果平均每月营业额的增长率相同设为x

（1）若预计3月份的营业额为4.5万元，则可列方程为                                            .

（2）若预计1月、2月、3月的营业额共9.5万元，则可列方程为                                                 .

3、（2013广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？

解析：（1）此题属于增长率问题，直接套用增长率问题的公式。先设出未知数，列方程解答即可；

（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增加的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．

解：（1）设捐款增长率为x，依题意，得，

                  10000（1+x）2=12100，

          解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去），

答：捐款增长率为10%；

（2）12100×（1+10%）=13310元．

答：第四天该单位能收到13310元捐款．

教师活动：1、通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？

                 2、 你能用你的话说一下列一元二次方程解应用题的一般步骤和需要注意的问题吗？

学生活动：学生总结发表个人意见。

教师关注：（1）学生对知识的归纳、总结、整理能力；

                  （2）学生对知识的横向联结能力、数学语言表达能力。

教师用多媒体板书归纳：

1、列方程解应用题的步骤 ：审、设、列、解、答

2、平均增长（降低）率公式：a(1+x)2=b或a(1-x)2=b

3、注意：                    

（1）1与x的位置不要调换，增长取“+”， 下降取“-”

（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法，注意验根，看是否符合实际意义。

布置作业：（1）教科书第53页6、7两题为作业

                            （2）预习下一节面积问题。

21.3 实际问题与一元二次方程

21.3 实际问题与一元二次方程

教师活动：（1）通过前面的学习你知道解一元二次方程有那些方法吗？  你有何体会？

          （2）列一元二次方程解应用题分几步呢？应注意那些？

学生活动：讨论交流、然后发言回答。

教师归纳板书：

            解一元二次方程的方法：

             直接开方法、配方法、公式法、因式分解法

            列一元一次方程解应用题的步骤

             审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、作答

（3）和一元一次方程、二元一次方程一样，一元二次方程也可以作为反

映某些实际问题中数量关系的数学模型。

下面我们来看几个例子：

（一）教师用多媒体展示示探究1内容

教师布置：问题1、本题中有那些数量关系？

问题2、每一轮的传染源和传染之后的被感染的电脑是多少台?

学生活动：学生思考并交流，最后请几个学生代表发言，教师听取回答、并随时口头予以点评。

用多媒体展示本题中的数量关系：

设每轮感染中平均一台会感染了x台电脑，

则第一轮的传染源有          台，有             台被感染，

  第二轮的传染源有          台，有              台被感染. 

最后明确：开始的那台电脑、第一轮被感染台数、第二轮被感染台数、总台数，

                 第二轮最开始的那台电脑还会传染。

问题3、如何理解经过两轮感染后就会有81台电脑被感染？

问题4、如何利用已知数量关系列出方程，并解方程得出结论?

学生讨论后，教师明确，强调第一论后有ⅹ﹢1个台继续传染。然后学生在完成解题过程：                           

教师用投影仪展示学生完整解答过程：

解：设每轮感染中平均一台会感染了x台电脑，依题意，得

       1+x+x(1+x)=8

解得X1=8   X2=-10（不合题意，舍去）

答：每轮感染中平均一台会感染了8台电脑。

（二）小结与思考

小结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：

     第一步：审题，明确已知和未知；

     第二步：找相等关系；

     第三步：设元，列方程，并解方程；

     第四步：检验根的合理性；

     第五步：作答。

思考：

问题5：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

     （1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+8）3=729＞700

     答：3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

强调：格式、检验及学生做题过程中出现的问题。

教师归纳：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解方程的步骤类似即：审、设、找、列、                      解、答。这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以                      要检验这两个根是否符合实际问题的要求。

问题6：通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？

           （用多媒体展示传播问题中的数量关系）

（三）巩固应用（教师出示练习）

1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

①　教师出示分析的内容；  

②　学生合作完成解答过程；

③　教师出示完整解答过程。

（四）教师用多媒体出示探究2内容

分析：

①　计算两种药品的成本下降额，并思考乙种药品成本的年平均下降额较大,那么成本的年下降额和下降率是一样的吗？

②　你是如何理解下降额与下降率的？

（通过了解知道，年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数））

③　在该题中，若设甲种药品成本的年平均下降率为x，请填下表（表略）

请把问题（3）的完整过程写出来。

教师请学生代表发言，并作必要地补充，之后要求学生合作完成解答过程，最后教师出示完整解答过程。

　在该题中，若设乙种药品成本的平均下降率为y，请填下表（表略）

请把问题（4）的完整过程写出来。

教师请学生代表发言，并作必要地补充，之后要求学生合作完成解答过程，最后教师出示完整解答过程。

讨论思考：经过你的计算，你能得出什么结论？下降额大的药品他的下降率一定大吗？怎样全面的比较对象的变化状况呢？

学生通过思考、讨论、并发言

教师用用多媒体板书归纳 ：     

类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1+x)2=b或者a(1-x)2=b

（其中增长取+,降低取－）

1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(             )

A.500(1+x)3=720                 B.500(1+x)2=720 

C.500(1+x2)=720                  D.720(1+x)2=500

2.某电脑公司2008年的各项经营中，1月份的营业为2万元，如果平均每月营业额的增长率相同设为x

（1）若预计3月份的营业额为4.5万元，则可列方程为                                            .

（2）若预计1月、2月、3月的营业额共9.5万元，则可列方程为                                                 .

3、（2013广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？

解析：（1）此题属于增长率问题，直接套用增长率问题的公式。先设出未知数，列方程解答即可；

（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增加的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．

解：（1）设捐款增长率为x，依题意，得，

                  10000（1+x）2=12100，

          解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去），

答：捐款增长率为10%；

（2）12100×（1+10%）=13310元．

答：第四天该单位能收到13310元捐款．

教师活动：1、通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？

                 2、 你能用你的话说一下列一元二次方程解应用题的一般步骤和需要注意的问题吗？

学生活动：学生总结发表个人意见。

教师关注：（1）学生对知识的归纳、总结、整理能力；

                  （2）学生对知识的横向联结能力、数学语言表达能力。

教师用多媒体板书归纳：

1、列方程解应用题的步骤 ：审、设、列、解、答

2、平均增长（降低）率公式：a(1+x)2=b或a(1-x)2=b

3、注意：                    

（1）1与x的位置不要调换，增长取“+”， 下降取“-”

（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法，注意验根，看是否符合实际意义。

布置作业：（1）教科书第53页6、7两题为作业

                            （2）预习下一节面积问题。