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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

平方根和开平方（基础）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.平方根的定义

如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.

2.算术平方根的定义

正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.

要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、下列说法错误的是（）

A.5是25的算术平方根

B.l是l的一个平方根

C.的平方根是－4

D.0的平方根与算术平方根都是0

【答案】C；

【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．

A.因为＝5，所以本说法正确；

B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；

C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；

D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；

【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）没有平方根．（）

（2）．（）

（3）的平方根是．（）

（4）是的算术平方根．（）

【答案】√；×；√；×，

提示：（2）；（4）是的算术平方根．

2、填空：

（1）是的负平方根．

（2）表示的算术平方根，．

（3）的算术平方根为．

（4）若，则，若，则．

【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.

【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3

【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：

【变式1】下列说法中正确的有（）：

①3是9的平方根．② 9的平方根是3．

③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B；

提示：①④是正确的.

【变式2】（2015?凉山州）的平方根是．

【答案】±3.

解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.

3、使代数式有意义的的取值范围是______________．

【答案】≥；

【解析】＋1≥0，解得≥.

【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

举一反三：

【变式】代数式＝有意义，则的取值范围是．

【答案】.

类型二、利用平方根解方程

4、（2015春?鄂州校级期中）求下列各式中的x值，

（1）169x2=144

（2）（x﹣2）2﹣36=0．

【思路点拨】

（1）移项后，根据平方根定义求解；

（2）移项后，根据平方根定义求解．

【答案与解析】

解：（1）169x2=144，

x，

x=，

x=.

（2）（x﹣2）2﹣36=0，

（x﹣2）2=36，

x﹣2=，

x﹣2=±6，

∴x=8或x=﹣4．

【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．

类型三、平方根的应用

5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽

各是多少米？

【答案与解析】

解：设宽为，长为3，

由题意得，·3＝1323

3＝1323

＝－21(舍去)

答：长为63米，宽为21米.

【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.沪教

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重点题型（常考知识点）巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. 16的平方根是（）

A.－4

B.4

C.± 4

D. 256

2．下列各数中没有平方根的是（）

A．B．0 C． D．

3．下列说法正确的是（）

A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3

C．的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根

4. 要使代数式有意义，则的取值范围是( )

A．B．C．D．

5.（2015?江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（）

A．﹣=﹣3 B．±=3

C．（）2=﹣3 D．=±3

6.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（）

A．＋8B．－4C．－8 D．＋8

二.填空题

7．计算：（1）______；（2）______；（3）______；

（4）______；（5）______；（6）______．

8.的算术平方根的相反数是________.

9.的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______．

10．的算术平方根是______：的算术平方根的相反数是______．

11．（2015春?丹江口市期末）若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a= ，这个正数是．

12．表示3的______；表示3的______．

三.解答题

13．求下列各式中的．

（1）；（2）；（3）．

14．（2015春?福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．

15.思考题：估计与最接近的整数．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】C；

【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.

2. 【答案】D；

【解析】负数没有平方根.

3. 【答案】B；

【解析】169的平方根是，的平方根是.

4. 【答案】B；

【解析】被开方数为非负数.

5. 【答案】A；

【解析】解：A、﹣=﹣3，故A正确；

B、3，故B错误；

C、被开方数是非负数，故C错误；

D、=3，故D错误；

故选：A．

6. 【答案】D；

【解析】一个数的算术平方根是，则这个数是.

二.填空题

7. 【答案】11；－16；；9；3；.

8. 【答案】；

9. 【答案】；0.01；0.

10.【答案】2；－3；

【解析】＝4，＝9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.

11.【答案】﹣1，9；

【解析】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）=0，

解得：a=﹣1．

则这个数是（2a﹣1）2=（﹣3）2=9．

故答案为：﹣1，9.

12.【答案】算术平方根；平方根.

三.解答题

13.【解析】

解：（1）（2）（3）

14.【解析】

解：原绿化带的面积：102=100（m2），

后绿化带的面积：4×100=400（m2），

则扩大后绿化带的边长是=20（m），

答：扩大后绿化带的边长为20m．

15.【解析】

解：∵25＜35＜36

∴

即5＜＜6

∵35比较接近36，

∴最接近的整数是6.

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

立方根和开立方

【学习目标】

1. 了解立方根的含义；

2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.

【要点梳理】

【：立方根、实数，知识要点】

要点一、立方根的定义

如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.

要点二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

要点三、立方根的性质

要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.

要点五、次方根

如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根.

求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.

要点诠释：实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零，表示为.

【典型例题】

类型一、立方根的概念

【：立方根实数，例1】

1、下列结论正确的是（）

A．64的立方根是±4 B．是的立方根

C．立方根等于本身的数只有0和1D．

【答案】D；

【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.

【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；.

举一反三：

【变式】（2015春?滑县期末）我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．

（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；

（2）若与互为相反数，求1﹣的值．

【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0，

而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0，

∴结论成立；

∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．

（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5=0，

∴x=4，

∴1﹣=1﹣2=﹣1．

类型二、立方根的计算

【：立方根实数，例2】

2、求下列各式的值：

（1）（2）

（3）（4）

（5）

【答案与解析】

解：（1）（2）（3）

（4）

（5）

【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.

举一反三：

【变式】计算：（1）______；（2）______；

（3）______．（4）______.

【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.

类型三、利用立方根解方程

3、（2015春?罗平县期末）求下列各式中x的值：

（1）3（x﹣1）3=24．

（2）（x+1）3=﹣64．

【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．

【答案与解析】

解：（1）3（x﹣1）3=24，

（x﹣1）3=8，

x﹣1=2，

x=3．

（2）开立方得：x+1=﹣4，

解得：x=﹣5．

【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便．

举一反三：

【变式】求出下列各式中的：

（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；

（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．

【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．

类型四、立方根实际应用

4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧

杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？

【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.

【答案与解析】

解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．

设铁块的棱长为，可列方程解得

设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.

答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 .

【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.

举一反三：

【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。(不计损耗)

【答案】；

类型五、次方根的运算

5、（1）求的5次方根；（2）求的6次方根.

【答案与解析】

解：（1）；

（2），

还有.

【总结升华】正数的偶次方根有两个，它们互为相反数

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重点题型（常考知识点）巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1．下列结论正确的是（）

A．的立方根是B．没有立方根

C．有理数一定有立方根D．的立方根是－1

2．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（）

A．－＝B．－＝C．＝D．＝

3.下列说法中正确的有（）个.

①负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是

③如果，那么＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．

A．1 B．2 C．3 D．4

4.（2015?衡南县自主招生）﹣64的立方根与的平方根之和是（）

A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣13或5 D．5

5. 下列各式中，正确的是（）

A. B. C. D.

6. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数

或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（）

A.①②③

B.①②④

C.②③④

D.①③④

二.填空题

7．中的的取值范围是______，中的的取值范围是______．

8.（2015春?霸州市期末）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是．

9．若则与的关系是______．

10．若则＝______．

11. 如果那么的值是______．

12.＝____________；＝___________.

三.解答题

13.若和互为相反数，求的值.

14.（2015春?桃园县校级期末）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．

15.已知实数，满足求｜－1|＋｜＋1｜的值．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】 C；

【解析】的立方根是；的立方根是1. 一个非零数与它的立方根符号相同.

2. 【答案】A；

【解析】由题意.

3. 【答案】A；

【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1．

4. 【答案】B；

5.【答案】D；

【解析】A.结果应为4；B.结果应为5；C.无意义.

6. 【答案】B；

【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．

二.填空题

7.【答案】任意实数；＝1;

【解析】开立方时被开方数可以为任意实数，第二题需1－≥0，－1≥0，

解得＝1.

8. 【答案】±1，0．

9. 【答案】；

【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.

10.【答案】－1；

【解析】2－1＝4＋1，解得＝－1.

11.【答案】－343；

【解析】＋4＝64，＝60，－67＝－7，.

12.【答案】5；；

【解析】.

三.解答题

13.【解析】

解：∵和互为相反数

∴＋＝0，

∴＝－，

∴＝，

∴2－1＝3－1, 2＝3，

∴＝.

14.【解析】

解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，

∴x﹣2=22，2x+y+7=27，

解得x=6，y=8，

∴x2+y2=62+82=100，

∴x2+y2的平方根是±10．

15.【解析】

解：∵

∴当≥0时，原式＝＋＋＝0，解得＝0,

｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2.

当＜0时，原式＝－＋＝0，解得＝0，

｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2.

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

实数的概念和运算（基础）

【学习目标】

1. 了解无理数和实数的意义；

2. 了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.

【要点梳理】

要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：

1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

正实数大于0，负实数小于0.

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.

从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.

要点四、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

要点五、近似数及有效数字

1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.

2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.

要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．

3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．

【典型例题】

类型一、实数概念

1、指出下列各数中的有理数和无理数：

【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.

【答案与解析】有理数有

无理数有

【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….

③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.

举一反三：

【变式】（2015春?聊城校级月考）在下列语句中：

①无理数的相反数是无理数；

②一个数的绝对值一定是非负数；

③有理数比无理数小；

④无限小数不一定是无理数．

其中正确的是（）

A．②③B．②③④ C．①②④ D．②④

【答案】C；

解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数不可能式有理数，故本选项正确；

②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；

③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；

④无限循环小数是有理数，故本选项正确．

类型二、实数大小的比较

2、比较和0.5的大小．

【答案与解析】

解：作商，得．

因为，即，所以．

【总结升华】根据若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.

举一反三：

【变式】比较大小

【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.

3、（2015?枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）

A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c

【答案】D；

【解析】

解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，

∴A、ac＜bc，故A选项错误；

B、∵a＜b，

∴a﹣b＜0，

∴|a﹣b|=b﹣a，故B选项错误；

C、∵a＜b＜0，

∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；

D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，

∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．

故选：D．

【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．

类型三、实数的运算

4、化简：

(1) (2) (3)

【答案与解析】

解：

.

【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

5、若，则________．

【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.【答案】3；

【解析】

解：由非负数性质可知：，即，∴．

【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三：

【变式】已知，求的值．

【答案】

解：由已知得，解得．

∴＝.

类型四、近似数和有效数字

6、下列各数有几个有效数字，分别是什么？

（1）；（2）万；（3）；（4）

【答案与解析】

解：由有效数字的定义可得：

（1）有4个有效数字，分别为：1，0，2，0；

（2）万有3个有效数字，分别为：1，5，0；

（3）有5个有效数字，分别为：1，5，0，0，0；

（4）有3个有效数字，分别是：2，3，0

【总结升华】带有文字单位或用科学记数法表示的数，有效数字的个数与文字单位或没有关系.

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1.（2015?通辽）实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其

中无理数的个数是（）

A．4 B．2 C．1 D．3

2. 下列说法正确的是（）

A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数

C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数

3.估计的大小应在（）

A．7～8之间B．8.0～8.5之间

C．8.5～9.0之间D．9～10之间

4.如图，数轴上点表示的数可能是（）.

A．B．C．D．

5. 实数和的大小关系是（）

A．B．

C．D．

6.精确到百分位，约等于（）

A. 0.39

B. 0.40

C. 0.4

D. 0.400

二.填空题

7.在，，，，这五个实数中，无理数是_________________．

8.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．

9.｜3.14－π｜＝______； ______．

10.的整数部分是________，小数部分是________．

11.已知为整数，且满足，则________．

12.（2015春?仙桃校级期末）﹣的相反数是，﹣2的绝对值是________，的立方根是．

三.解答题

13．（2014春?西城区校级期中）化简：|﹣|﹣|3﹣|．

14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是

多少？（用计算器计算，精确到）

15. 已知求的值．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】B．

【解析】在实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：﹣π，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共2个.

2. 【答案】A；

【解析】根据无理数的定义作答.

3. 【答案】C；

【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.

4. 【答案】B；

【解析】2＜＜3

5. 【答案】C；

【解析】.

6. 【答案】B；

【解析】0.40中末尾的“0”不能去掉，近似数“0.40”与“0.4”的意义不同.

二.填空题

7．【答案】，；

8. 【答案】；

【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.

9. 【答案】π－3.14；.

【解析】负数的绝对值等于它的相反数.

10.【答案】2；；

【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分.

11.【答案】－1, 0, 1；

12.【答案】；2﹣；2．

三.解答题

13.【解析】

解：|﹣|﹣|3﹣|

=﹣（3﹣）

=2﹣﹣3．

14.【解析】

解：设广场的边长为，由题意得：

440000

＝≈663.

15.【解析】

解：∵

∴－2＝0且＝0

解得＝2，＝－3，

∴＝2－3＝－1.

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

分数指数幂

1.掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.

2. 会用计算器计算分数指数幂.

【要点梳理】

要点一、分数指数幂

把指数的取值扩大到分数，我们规定

，

，

其中为正整数，.

上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.

整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.

要点诠释：（1）当与互素时，如果为奇数，那么分数指数幂中的底数可为负数.

（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.

要点二、有理数指数幂的运算性质

设为有理数，那么

（1）.

（2）.

（3）.

【典型例题】

类型一、分数指数幂的运算

1、把下列方根化为幂的形式：

（1）；（2）；（3）；（4）.

【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题.

【答案与解析】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【总结升华】，其中为正整数，.

举一反三：

【变式】(2015.三台期末)根式（，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（）

A. B. C. D.

【答案】D；

解：∵，∴.

2、口算：

（1）；（2）；（3）；（4）.

【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值.

【答案与解析】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分数指数幂的值是一个正数.

举一反三：

【变式】口算：（1）；（2）；（3）.

【答案】

解：（1）；

（2）；

（3）.

3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数：

（1）；（2）；（3）.

【答案与解析】

解：（1）；

（2）；

（3）.

【总结升华】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系.

4、计算：

（1）；（2）；（3）；（4）

【答案与解析】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题.

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】

一.选择题

1.(2015.绵竹期中)下列运算正确的是（）

A. B. C. D.

2. 根式（，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（）

A. B. C. D.

3. 把写成幂的形式是（）

A. B. C. D.

4. 计算：的值为（）

A.100

B.10

C.

D.

二.填空题

5.计算： =_________.

6.(2015.彭州期末) 把改写成指数幂的形式是_______.

7.计算： =_________.

8.计算： =________.

9.计算： =________.

10.计算： =________.

11.计算： =_________.

12.计算： =_________.

三.解答题

13.计算（结果表示为含幂的式子）：

（1）；（2）；（3）；（4）.

14.用计算器计算（保留三位小数）：

（1）；（2）；（3）；（4）.

15.(2015.泰州模拟)计算（结果表示为含幂的形式）：

（1）；（2）；（3）；（4）.

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】.

2.【答案】D；

【解析】∵，∴.

3.【答案】A；

4.【答案】A；

【解析】.

二.填空题

5.【答案】2；

【解析】.

6.【答案】；

7.【答案】-2；

【解析】.

8.【答案】；

【解析】.

9.【答案】；

【解析】.

10.【答案】；

【解析】.

11.【答案】；

【解析】.

12.【答案】1；

【解析】.

三.解答题

13.【解析】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

14.【解析】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

15.【解析】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

《实数》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、平方根和立方根

要点二、次方根

如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根.

求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.

实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零.

要点三、实数

有理数和无理数统称为实数．

1.实数的分类

要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；

③有特定结构的数，如0.1010010001…

（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

1 七年级数学第五章《相交线与平行线》 班级 _______ 姓名 ________ 坐号 _______ 成绩 _______ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1、如图所示，∠ 1 和∠ 2 是对顶角的是（ ） A 1 2 B 1 C 1 1 D 2 2 2、如图 AB ∥ CD 可以得到（ ） A 、∠ 1＝∠ 2 B 、∠ 2＝∠ 3 C 、∠ 1＝∠ 4 D 、∠ 3＝∠ 4 3、直线 AB 、 CD 、EF 相交于 O ，则∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＝（ ） A 、 90° B 、 120 ° C 、 180 ° D 、140 ° 4、如图所示，直线 a 、 b 被直线 c 所截，现给出下列四种条件： ①∠ 2＝∠ 6 ②∠ 2＝∠ 8 ③∠ 1＋∠ 4＝180°④∠ 3＝∠ 8，其中能判断 是 a ∥ b 的条件的序号是（ ） A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、③④ 5、某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相 同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A 、第一次左拐 30°，第二次右拐 30° B 、第一次右拐 50°，第二次左拐 130 ° C 、第一次右拐 50°，第二次右拐 130 ° D 、第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130 ° 6、下列哪个图形是由左图平移得到的（ ） 2 A 2 D 1 4 3 B （第 2题） C 1 2 3 （第三题） 2 c 1 3 4 b 6 5 7 8 a （第4题） D C A B C D 7、如图，在一个有 4×4 个小正方形组成的正方形网格中，阴影 部分面积与正方形 ABCD 面积的比是（ ） A B A 、 3：4 B 、 5：8 C 、 9： 16 D 、 1： 2 （第7题） 8、下列现象属于平移的是（ ） ① 打气筒活塞的轮复运动，② 电梯的上下运动，③ 钟摆的摆动，④ 转动的门，⑤ 汽车 在一条笔直的马路上行走 A 、③ B 、②③ C 、①②④ D 、①②⑤ 9、下列说法正确的是（ ） A 、有且只有一条直线与已知直线平行 B 、垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C 、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这 条直线的距离。 D 、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 10、直线 AB ∥ CD ，∠ B ＝ 23°，∠ D ＝ 42°，则∠ E ＝（ ） A B E C ( 第10题) D

沪科版七年级数学下册教案全一册 第6章实数 6.1.1平方根 教学目标 【知识与技能】 数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示方法. 【过程与方法】 通过带领学生探究使学生理解数的开方、平方根的概念. 【情感、态度与价值观】 培养学生的探究能力和归纳问题的能力. 教学重难点 【重点】 平方根. 【难点】 正确理解平方根的意义. 教学过程 一、创设情境,引入新课 师:如果一个数的平方等于9,这个数是多少? 学生思考、讨论. 生:3. 师:除此之外,还有没有别的数的平方也等于9呢? 生:-3. 师:所以,若一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3. 二、讲授新课 师:请同学们填表. 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.用字母叙述为: 如果x2=a,则x叫做a的平方根. 例如:3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根. 求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 师:请同学们看图. 展示课件: 师:平方与开方有何联系? 生:平方与开平方互为逆运算. 师:我们可以根据这种运算关系,来求一个数的平方根.请同学们做题. 练习:求下列各数的平方根:

(1)64;(2) 0.0004;(3)(-25)2;(4)11. 解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,=±8;(2)因为(±0.02)2=0.0004, 所以0.0004的平方根是±0.02,±0.02;(3)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的 平方根是±25,即±=±25;(4)11. 师:正数、负数、0的平方根有何特点? 学生讨论、交流. 师生共同分析: 正数的平方根有两个,它们互为相反数. ∵负数的平方是正数,∴在我们所认识的数中,任何一个数的平方都不会是负数.∴负数没有平方根.∵02=0,∴0的平方根是0. 归纳: (1)正数a有两个平方根,它们互为相反数; (2)负数没有平方根; (3)0的平方根是0. 师:正数a的平方根表示为±,读作“正、负根号a”. 如:±读作正、负根号9. 师:只有当a≥0时有意义,a

第九章整式 第一节整式的概念 9.1.2.3、字母表示数 代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。 2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。 3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。 4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。 5、代数式不能含有“=、≠、、≥、≤”符号。 代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。 注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。 2、若带入的值是负数时，应添上括号。 3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”. 4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。 9.4整式 1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母 也是单项式。 2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项 式的次数。 4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 6、整式：单项式和多项式统称为整式。 9.5合并同类项 1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 同类项。 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。 3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后 的系数，字母和字母的指数不变。 第二节9.6整式的加减： 去括号法则： （1）括号前面是"＋"号，去掉"＋"号和括号，括号里各项的不变号； （2）括号前面是"－"号，去掉"－"号和括号，括号里的各项都变号。 添括号法则 （1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。 第三节整式的乘法9.7同底数幂的乘法、9.8幂的乘方、9.9积的乘方： ①同底数幂的乘法 a m·a n=a m+n(m、n都是正整数)。 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方与积的乘方 （a m）n=a mn(m、n都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （ab）n=a n b n (n都是正整数) 积的乘方等于各因式乘方的积。

义务教育基础课程初中教学资料 2017年04月12日初中数学的初中数学组卷 一、解答题（共38小题） 1．计算：()()3119+--- 2．计算：()()()()40281924-----+-． 3．计算：()()()743410--+---+- 4．计算：510511 2131713??-+ ??? 5．()()1352119+----． 6．计算：()1541---+． 7．计算13351.7563122848?? ??+-++-+ ? ??? ??． 8．计算：()()25.77.313.77.3+-+-+． 9．()111.54 2.75542?? -+++- ??? 10．计算：()()782-+-- 11．计算：323.7 1.355?? ---- ??? ． 12．()12235+-+---． 13．()()()()20357-++---+ 14．()()()()03573-++----- 15．计算：21133838???? ---+- ? ????? ． 16．()()32172315-----+- 17．计算：2837352--+． 18．计算：()()()()()201012526++---++-+ 19．计算：1423.8468453???? +-++- ? ????? 20．计算： （1）3 5.37 5.3-++- （2）()()0.350.60.25 5.4+-++- 21．（1）()()82---； （2）()2510+-； （3）()()11.54 3.311.54 3.3+-+-+； （4）21153236????--- ? ????? 22．计算：()()()32875-+----+-． 23．计算()()171318-+--． 24．计算：

合并同类项或按要求计算： 1、(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y) 2、2a-[3b-5a-(3a-5b)] 3、(6m2n-5mn2)-6(m2n-mn2) 4、m2+(-mn)-n2+(-m2)-(-0.5n2) 5、2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an) 6、(x-y)2- (x-y)2-[(x-y)2-2(x-y)2] 7、(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6) 8、3x2-1-2x-5+3x-x2

9、 -0.8a 2b-6ab-1.2a 2b+5ab+a 2b 10、已知a 为3的倒数，b 为最小的正整数，求代数式()()322++-+b a b a 的值。 11、已知：A=3x 2-4xy+2y 2，B=x 2+2xy-5y 2 求：（1）A+B （2）A-B （3）若2A-B+C=0，求C 。 12．已知x+y=6，xy=-4，求: (5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)的值。 13.已知3ab a b =+，试求代数式()52a b ab a b ab +-+的值。

答案: 1: 6x-14y 2: 10a-8b 3: mn2 4: -mn-0.5n2 5: 4-9an 6: (x-y)27：7x2-7xy+1 8：2x2+x-6 9：-a2b-ab 10：19/9 11: （1）4x2-2xy-3y2（2）2x2-6xy+7y2（3）-5x2+10xy-9y2 12: 解：(5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy) =5x-4y-3xy-8x+y-2xy =-3x-3y-5xy =-3(x+y)-5xy ∵x+y=6，xy=-4 ∴原式=-3×6-5×(-4)=-18+20=2 13:13/3

七年级数学基础测试题 一、选择题（本大题共12小题, 每小题3分, 共36分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的) 1．若火箭发射点火前5秒记为-5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（ ） A.-10秒 B.-5秒 C.＋5秒 D.＋10秒 2. 武汉市冬季某天的最高气温是5℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是（ ） A.-2℃ B.8℃ C.-8℃ D.2℃ 3．如图，数轴上A 、B 两点所表示的两数的（ ） A.和为正数 B.和为负数 C.积为负数 D.积为正数 4．截至2008年7月27日《赤壁（上）》累计内地票房已达2.63亿元人民币，这使得它成为史上吸金最快的华语片.票房数字保留两个有效数字取近似值为（ ） A.82.610? B.72610? C.82.6310? D.2.6 5. 单项式233xy z π-的系数和次数分别是（ ） A.－π，5 B.－1，6 C.－3π，6 D.－3，7 6．化简()m n m n +--的结果为 ( ) A.2n B.2n - C.2m D.2m - 7．已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，则m 的值是（ ） A.-2 B.2 C.27 D.27 - 8．小方准备为希望工程捐款,他现在有20元,以后每月打算存10元,若设x 月后他能捐出100元,则下列方程中能正确计算出x 的是( ) A.10x+20=100 B.10x-20=100 C.20-10x=100 D.20x+10=100 9．下列由等式的性质进行的变形，错误．． 的是（ ） A.如果a ＝b ，那么a ＋2＝b+2 B.如果 a ＝b ，那么a －2＝b －2 C.如果a ＝2，那么22a a = D.如果22a a =，那么a ＝2 10. 形如 d c b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为d c b a ＝ad －bc ，依此法则计算4132 -的结果为（ ） A.5 B.－11 C.-2 D.11 11．有一种石棉瓦(如图)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠 部分的宽都为10厘米，那么n(n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为( ) A.60n 厘米 B.50n 厘米 C.(50n+10)厘米 D.(60n-10)厘米 12．已知多项式2346x x -+的值为9，则多项式2463 x x -+的值为( ) A.7 B.9 C.12 D.18 二、填空题(本大题共4小题, 每小题3分, 共12分) 13．写出232a b -的一个同类项 .

沪科版数学七年级下册 第六章实数 一、知识总结 （一）平方根与立方根 1、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。 （2）表示：非负数a的平方根记作±a，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。 Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根 （1）定义：正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。（2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性；即：a≥0恒成立。 （2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0； 负数的没有算术平方根。 3、立方根： （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。 （2）表示：a的立方根记作3a，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。（二）实数 1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数） 2、实数：有理数和无理数统称为实数。 3、实数分类：（1）按定义分（略）（2）按正负性分（略） 4、实数与数轴上的点一一对应。 5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）

6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。 7、实数大小：（1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值 小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······ 二、解题实用 1、 1.414212≈ 1.7323≈ 2.2365≈ 2、a a =2 () a =2 a ()a a == 3 3 33 a 3、ab b =?a b a b a b ==÷a ()0b ≠ 三、典题练习 1、16的平方根是 ；()2 3-的算术平方根是 ；23-的立方根是 。 2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。 3、一个自然数的算术平方根是x ，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。 4、下列各数中一定为正数的是 （填序号） ① x ② 1x + ③2x ④ 1x 3+ ⑤ 1x + 5、当x

人教版数学七年级上册第1章基础测试题含答案 1.1正数和负数 一．选择题 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（） A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元2．质检员抽查4袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（） A．﹣2B．﹣1C．0.5D．1.3 3．某种食品保存的温度是﹣10±2℃，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（） A．﹣6℃B．﹣8℃C．﹣10℃D．﹣12℃4．大米包装袋上（25±0.1）kg的标识表示此袋大米的重量为（）A．24.9kg﹣25.1kg B．24.9kg C．25.1kg D．25kg 5．向东行进﹣100m表示的意义是（） A．向东行进100m B．向南行进100m C．向北行进100m D．向西行进100m 6．下列各数是负整数的是（） A．﹣1B．2C．5D．

7．某药品包装盒上标注着“贮藏温度：1℃±2℃”，以下是几个保存柜的温度，适合贮藏这种药品的温度是（） A．﹣4℃B．0℃C．4℃D．5℃ 8．如果收入25元记作+25元，那么支出30元记作（）元．A．+5B．+30C．﹣5D．﹣30 9．宁波市江北区慈城的年糕闻名遐迩．若每包标准质量定为300g，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数．则下面4个包装中，实际质量最接近标准质量的是（）A．B．C．D． 10．某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如表：美国德国英国中国 ﹣3.4%﹣0.9%﹣5.3% 2.8% 上述四国中哪国增长率最低？（） A．美国B．德国C．英国D．中国 二．填空题 11．如表列出了国外两个城市与北京的时差，如果现在是北京时间是上午10：00，那么现在的巴黎时间是． 城市时差/h 巴黎﹣7 东京+1 12．若节约9m3水记作+9m3，则浪费6m3水记作m3．

人教版七年级下数学基础练习题 一、选择题 1、下列现象中，不．属于．． 旋转的是（ ）． A ．汽车在笔直的公路上行驶 B ．大风车的转动 C ．电风扇叶片的转动 D ．时针的转动 2、若a b m x x 2 的整数解共有3个，则m 的取值范围是（ ）． A ．21

8、如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（） A．34° B．56° C．66° D．54° 9、如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（） A．132° B．134° C．136° D．138° 10、若方程组的解满足x+y=0，则a的取值是（） A．a=﹣1 B．a=1 C．a=0 D．a不能确定 11、若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD的度数为（） A．30° B．40° C．50° D．60° 12、观察下列各式及其展开式： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（） A．36 B．45 C．55 D．66 13、若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为（） A．﹣ B． C． D．﹣

七年级数学下册知识点 第六章 实 数 （一）平方根与立方根 1、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二 次方根。 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.记作“a ±”，且a ≥0即X=a ± （2）表示：非负数a 的平方根记作±a ，读作“正负根号a ”，（a 叫做被开方数） （3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根。 （4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。 Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根 （1）定义：正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。 例如：a 的算术平方根.记作“a ”，且a ≥0 即X=a （2）性质：（1）一个数a 的算术平方根具有非负性； 即：a ≥0恒成立。 （2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根 3.开平方公式有哪些？ ①2(0)0(0)(0)a a a a a a a >??===??- ②2()(0)a a a =… 且 a ≥0 4.求1120的平方值: 112=121,122=144,132=169,142=196,152=225, 162=256,172=289,182=324,192=361,202=400 1、 1.414212≈ 1.7323≈ 2.2365≈ 5、立方根： （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三 次方根。如果3x a =，那么x 叫做a 3a .即X=3a （2）表示：a 的立方根记作3a ，读作“三次根号a ”（a 叫做被开方数，3叫根指数） （3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。 6.33a a = ②33()a a = 33a a -=（二）实数

沪教版初中数学知识点 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

第一章数的整除1.1 整数和整除的意义 1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数 2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数 3. 零和正整数统称为自然数 4．正整数、负整数和零统称为整数 5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 1.2 因数和倍数 1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数 2．倍数和因数是相互依存的 3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身 1.3能被2,5整除的数 1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除

2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数 3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数 4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数 5．个位数字是0,5的数都能被5整除 6. 0是偶数 1.4 素数、合数与分解素因数 1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数 2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数 3. 1既不是素数也不是合数 4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数 5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数 6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。 7．通常用什么方法分解素因数: 树枝分解法,短除法 1.5 公因数与最大公因数

七年级数学下册第一章测试题 数 学(整式的运算) 班级____________学号_____________姓名_____________ （时间90分钟,满分100分，不得使用计算器） 一、 选择题（2＇×10=20＇，每题只有一个选项是正确的，将正确选项的字母填入 下表中） 1. 在代数式 211,3.5,41,2,,2,,,2412 b a b x y x yz x x a mn xy a bc +-+-+-中，下列说法正确的是（ ）。 （A ）有4个单项式和2个多项式， （B ）有4个单项式和3个多项式； （C ）有5个单项式和2个多项式， （D ）有5个单项式和4个多项式。 2. 减去－3x 得632+-x x 的式子是（ ）。 （A ）62+x （B ）632++x x （C ）x x 62- （D ）662+-x x 3. 如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都 ( ) （A ）等于6 （B ）不大于6 （C ）小于6 （D ）不小于6 4. 下列式子可用平方差公式计算的是： （A ） （a －b ）（b －a ）； （B ） （－x+1）（x －1）； （C ） （－a －b ）（－a+b ）； （D ） （－x －1）（x+1）； 5. 下列多项式中是完全平方式的是 ( ) （A ）142++x x （B ）1222+-y x （C ）2222y xy y x ++ （D ）41292+-a a 6. 计算=-?- 20052005)5 22()125(（ ） （A ）－1 （B ）1 （C ）0 （D ）1997 7. (5×3－30÷2)0=( ) （A ）0 （B ）1 （C ）无意义（D ）15 8. 若要使4 192++my y 是完全平方式，则m 的值应为（ ） （A ）3± （B ）3- （C ）31± （D ）3 1- 9. 若x 2－x －m ＝（x －m ）（x ＋１）且x ≠０，则m ＝（ ） （A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）2 10. 已知 |x|=1, y=4 1, 则 (x 20)3－x 3y 的值等于（ ）

七年级数学练习题及答案 1.1 正数和负数 基础检测621.?1,0,2.5,?,?1.732,?3.14,106,?,?1中，正数有，负数375 有。 2.如果水位升高5m时水位变化记作+5m，那么水位下降3m时水位变化记作m，水位不升不降时水位变化记作 m。 3.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有的意义。 4.2010年我国全年平均降水量比上年减少24㎜.2009年比上年增长8㎜.2008年比上年减少20㎜。用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量。 拓展提高 5.下列说法正确的是 A.零是正数不是负数 B.零既不是正数也不是负数 C.零既是正数也是负数 D.不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数 6.向东行进-30米表示的意义是 A.向东行进30米 B.向东行进-30米 C.向西行进30米 D.向西行进-30米 7.甲、乙两人同时从A地出发，如果向南走48m,记作+48m，则乙向北走32m，记为这时甲乙两人相距m.

8.某种药品的说明书上标明保存温度是℃，由此可知在℃至℃范围内保存才合适。 9.如果把一个物体向右移动5m记作移动-5m，那么这个物体又移动+5m是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？ 1.2.1有理数测试 基础检测 1、______和______统称为非负数；______和______统称为非正数；______和______统称为非正整数；______和______统称为非负整数. 2、下列不是正有理数的是 A、-3.1 B、0 C、7 D、3 3、既是分数又是正数的是 A、+ B、-4 C、0 D、2.1 3 拓展提高 4、下列说法正确的是 A、正数、0、负数统称为有理数 B、分数和整数统称为有理数 C、正有理数、负有理数统称为有理数 D、以上都不对 5、-a一定是 A、正数 B、负数 C、正数或负数 D、正数或零或负

2018学年第二学期七年级数学新教材期末考试试卷 (考试时间90分钟，满分100分) 一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分） 1．25 的平方根是________________． 2= ________________． 3．计算：2 ) 3( =_______________． 4．比较大小： 3________10 （填“>”，“=”，“

上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0) 第十七章 一元二次方程

17.1 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式x =：12x x ==； △=2 4b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值 18.2 正比例函数 1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例 2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数

1、在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“

1 2÷(－—) (－8)×(－180)×(－0.75)×40 5 20×0.5×(－1.6)＋(－9.5) (－3)2×2－(－1)3×3 1 4÷(－—)÷(－4)÷(－2) －(2－8)＋22＋(7＋2) 3 7 (－9)＋5×(－—)－(－6) (3－4)＋42＋(7＋1) 6 5、用科学记数法表示下列各数。 300 －30000 190000 －530000 11000000 320000000 110000 －887000

6、下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ 7×1042×103－6.7×108－5.58×108 2.3×1077.15×106－2.6×108 4.99×104 7、对下列各数取近似数。 0.0000818(精确到万分位) 45.8068(精确到十分位) 0.827627(精确到0.01) 0.00735(精确到0.001) 8、计算。 1－|－2| |8－(－1)| |－8|－(－2) 9、列式表示。 10天中，小张长跑路程累积达到67000m，小李跑了am,平均每天小李和小张各跑多少米？平均每天小李比小张多跑多少米？

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第十二章 实数 第一节 实数的概念 实数的概念 A ．无限不循环小数叫做无理数。 B ．只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。 C ．有理数和无理数统称为实数。 正 有理数 有理数 零 —有限小数或无限循环小数 负有理数 实数 正无理数 无理数 —无限不循环小数 负无理数 (1).自然数(小学)：数出物体个数的这样的数，如1、2、3、4、5......叫做自然数。 (2).整数(小学)：0和自然数叫做整数。 (3)整数(中学)：正整数、负整数和0统称为整数。 (4)正数：大于0的数叫做正数。 (5)负数：小于0的数叫做负数。 (6)分数(小学)：形如1/2、5/3、7(3/5)这样的数叫做分数。 (7)分数(中学)：有限小数和无限循环小数统称为分数。 (8)有理数：整数和分数统称为有理数。 (9)无理数：无限不循环小数叫做无理数，具体表示方法为√2、√3这样的数。 (10)实数：有理数与无理数统称为实数。 第二节 数的开方 平方根和开平方 A ．如果一个的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数。 （定义：如果√a=a ，则√a 叫做a 的平方根，记作“√a ”（a 称为被开方数）。 B ．正数a 的两个平方根可以用“ a ±”表示，期中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a - 表示a 的负平方根，读 作“负根号a ”。 开平方和平方互为逆运算： 当 a ＞0时 （ a ）2= a （－ a ）2= a (平方根等于本身的只有0 ) 当 a ≥0时 a 2 = a (-a)2 = a 当 a ＜0时 a 2 = －a 零的平方根记作0，0=0 注：一个正数的平方根的平方等于这个数。 一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）。 性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

沪教版初中数学知识 点整理

第一章数的整除 1.1 整数和整除的意义 1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数 3. 零和正整数统称为自然数 4．正整数、负整数和零统称为整数 5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 1.2 因数和倍数 1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数 2．倍数和因数是相互依存的 3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身 1.3能被2,5整除的数 1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除 2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数 3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数 4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数 5．个位数字是0,5的数都能被5整除 6. 0是偶数 1.4 素数、合数与分解素因数 1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数 2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数 3. 1既不是素数也不是合数 4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数 5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数 6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。 7．通常用什么方法分解素因数: 树枝分解法,短除法 1.5 公因数与最大公因数 1．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数 3．把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数 4．如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数

过程 七年级数学期末考试试卷 2011——20１２学年度第一学期 一、选择题(每题3分,共３6分） 1．已知4个数中：(―1）２005，2 -，－(－１．5)，―3２,其中正数的个数有( ）. A.1 B．2 Ｃ．3 D.4 2．某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃，则该药品在（）范围内保存才合适. Ａ.１８℃～2０℃B．２0℃~2２℃ C.1８℃～2１℃ D.1８℃~２２℃ ３.多项式3x2-2ｘｙ3－ 2 1 y-1是（)． A.三次四项式Ｂ.三次三项式 C.四次四项式D．四次三项式 4.下面不是同类项的是( )． A．－2与 2 1 B.2ｍ与2nＣ．b a2 2 -与b a2 D.2 2y x -与2 2 2 1 y x 5．若x=3是方程a－x＝7的解,则a的值是（). A．4Ｂ．7 C.10 D. 7 3 6.在解方程 123 1 23 x x -+ -=时，去分母正确的是（). A.3（x-1)－2（２＋3x）=1 B．3(x－1)＋2(２x+３)=1 C.３（x-1)＋2（2＋３x）=6D．３（x－1）-2（2x＋3)＝6 7．如图1，由两块长方体叠成的几何体，从正面看它所得到的平面图形是( ）．Ａ． B.C． D. 8．把图2绕虚线旋转一周形成一个几何体,与它相似的物体是( ). A.课桌Ｂ.灯泡C．篮球 D.水桶 9．甲、乙两班共有９8人,若从甲班调3人到乙班,那么两班人数正好相等.设甲班原有人数是x人，可列出方程（）. Ａ.98+x＝x－3B．98－x=x-３ C．(98－x)+３＝x D.（９8-x)+3=x-3 图1 图2

10. 以下３个说法中：①在同一直线上的4点A、Ｂ、C、D只能表示5条不同的线段；②经过两点有一条直线，并且只有一条直线;③同一个锐角的补角一定大于它的余角.说法都正确的结论是（）. A．②③B．③C．①② D.① １1.用一副三角板（两块）画角，不可能画出的角的度数是（)． A.1350B．750 C.５50Ｄ.1５0 １2.如图３,已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点,N是线段AC的中点，P为ＮA 的中点,Q是AM的中点，则MＮ:PQ等于（). A．１Ｂ．２C．３ D.４ 图3 Q P N M C B A 二、填空题（每小题3分，共12分) 13．请你写出一个解为ｘ＝2的一元一次方程. １4．在3,－4,5，－6这四个数中，任取两个数相乘,所得的积最大的是??． 15.下图(1)表示1张餐桌和6张椅子（每个小半圆代表1张椅子)，若按这种方式摆放20张餐桌需要的椅子张数是． 1６．计算：77°53′26"+33.3°=_＿_____＿___＿_＿． 三、解答与证明题（本题共72分） 17.计算:(本题满分8分) （１）－２1 2 3 ＋３ 3 4 － 1 3 －0．2５(4分) （２)２２+2×[（－3)２－３÷ 1 2 ](４分） 18.（本题满分8分)先化简,再求值，22 2 963() 3 y x y x -++-,其中1 2- = =y x，．（4分) 19.解下列方程：(本题满分8分）