新高考数学实战演练仿真模拟卷6

一．选择题（共8小题）

1．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：集合，

，

．

故选：．

2．已知，，，都是常数，，．若的零点为，，则下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，则由题意及韦达定理可得，且，，

若，则，

又，则，，故，这与矛盾，

，

若，则，又，则，这与矛盾，

，

综上，．

故选：．

3．已知，，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，，，

．

故选：．

4．若实数，满足，则的最小值为　　

A． B．2 C． D．4

【解析】解：实数，满足，则，．

，可得，当且仅当时取等号．

故选：．

5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数在区间上的图象的大致形状是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：函数的定义域为，

，

为偶函数，排除选项和；

当时，，，，排除选项．

故选：．

6．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则　　

A．3 B． C． D．或

【解析】解：抛物线的焦点为，准线为，

设直线交轴于，可得，

过作准线的垂线，交于，可得，

若，设，可得，，

由，即，可得，即．

故选：．

7．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕，大吕，太簇．据此，可得正项等比数列中，　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：根据题意，该问题为已知等比数列的首项、末项，求数列中任意一项，

设数列的首项为，末项为，

其公比，则，

则；

故选：．

8．已知函数的最大值为，若存在实数，，使得对任意实数总有成立，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：，

，

，

，

，的最大值为2，即，

要使最小，

，故只须的最小，

对任意实数总有成立，

的最小值为函数周期的一半，

即的最小值为：，

则的最小值为：．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．下列有关命题的说法正确的是　　

A．，使得成立 

B．命题，都有，则，使得 

C．函数与函数是同一个函数 

D．若、、均为正实数，且，，则

【解析】解：，，，令，则，，，则，所以在，上单调递减，所以

不存在，使得成立，所以不正确

：命题，都有，则，使得，所以正确；

：函数的定义域，，而的定义域为，，，所以这两个不是同一个函数，所以不正确；

：设，则，，，

所以，

因为，所以，

所以以，所以可得，故正确．

故选：．

10．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是　　

A．当时，曲线为圆 

B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 

C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件 

D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为

【解析】解：曲线的方程为，当时，方程为，曲线为圆，所以正确；

当时，曲线为，是双曲线，其渐近线方程为，所以正确；

“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充要条件，所以“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以不正确；

时，曲线为双曲线，其离心率为，如果，可得，无解，所以

时，，然后，可得，显然不成立，所以，所以不正确．

故选：．

11．已知函数，则下列说法正确的是　　

A．的值域是， 

B．是以为最小正周期的周期函数 

C．在区间上单调递增 

D．在，上有2个零点

【解析】解：当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，．

作出在，的图象，可得为以为最小正周期的周期函数，故错误；

的值域为，，故正确；

在区间上单调递增，故正确；

在，上有2个零点，故正确．

故选：．

12．一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是　　

A．直线平面 

B．与平面所成的角为定值 

C．设平面平面，则有 

D．三棱锥体积为定值

【解析】解：由为的中位线可得，则，，且，可得平面，故正确；

由平面，可得与平面所成角为，而，故正确；

可过在平面内作直线，而，所以，为平面和平面的交线，故正确；

在三棱锥中，平面，由于为定值，的面积不为定值，所以三棱锥体积为定值，故错误．

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．设函数，若，则实数的取值范围是　，，　．

【解析】解：函数，

当，，即为，

解得；

当，即为，

解得．

综上可得，或．

故答案为：，，．

14．已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为　　．

【解析】解：由，，

得，

，即，

则数列是首项为1，公差为1的等差数列，

，即成立）．

当时，，

适合上式，

则．

故答案为：．

15．在三棱锥中，底面，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为　　．

【解析】解：如图，底面，

，，

又，，，

，，

由三线垂直可知，三棱锥可看作长方体一角，

其外接球直径为长方体体对角线长，

即，

，

故答案为：．

16．已知不过原点的动直线交抛物线于，两点，为坐标原点，且，若的面积最小值是32，则（1）　　；（2）直线过定点　　．

【解析】解：由题意设，，，，由，可得，

进而可得，所以，

所以可得，

由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为：，

联立直线与抛物线的方程可得：，整理可得，

所以，，

所以，可得，

所以，当时取最小值，

由题意，解得，

所以直线的方程为：，

所以直线恒过定点，

故答案分别为：；，．

四．解答题（共6小题）

17．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1），．

当时，，当时，．

从而的单调递增区间为，，单调递减区间为，．（4分）

（2），恒成立，即恒成立

当时，显然成立；（6分）

当时，即恒成立，

即恒成立，即，

即，（8分）

由知，，由①可知，，

即．令，

，，即在，上为增函数，

（e），

，

综上，，．（12分）

18．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】解：（1）设的公差为，，

因为，，成等比数列，，可得，

，

，

，

又，

解得，，

．

（2）

．

19．已知函数．

（1）求最小正周期及对称中心；

（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且（A），，求面积的取值范围．

【解析】解：（1），

；

，，

，

即对称中心是，，，

（2）（A），

，

为锐角三角形，

，且，

，，

，得到，

在中，，

，

，

，

20．已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，，分别是，中点，点在棱上移动．

（1）证明无论点在上如何移动，都有平面平面；

（2）当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．

【解析】（1）证明：连接，

底面为菱形，，为正三角形，

是的中点，，

又，，

平面，平面，，

，、平面，平面，

平面，平面平面．

（2）解：由（1）知，、、两两垂直，故以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，，，，1，，，2，，，0，，，1，，，0，，

，1，，，2，，，0，，

设，，，则，，，

设平面的法向量为，，，则，

令，则，，，，，

设直线与平面所成的角为，

则，，

当时，最大，此时为的中点，即，，，

，，，，0，，，1，，

设平面的法向量为，，，则，

令，则，，，2，，

同理可得，平面的法向量，1，，

，．

由图可知，二面角为锐角，

故二面角的余弦值为．

21．某品牌布娃娃做促销活动：已知有50个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，参与者可以先在50个布娃娃中购买5个，看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设每个布娃娃有奖品的概率为，且各个布娃娃是否有奖品相互独立．

（1）记5个布娃娃中有1个有奖品的概率为，当时，有最大值，求；

（2）假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的作为的值．已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元．以最终奖金的期望作为决策依据，是否该买下剩下所有的45个布娃娃；

（3）若已知50件布娃娃中有10个布娃娃有奖品，从这堆布娃娃中任意购买5个，若抽到个有奖品可能性最大，求的值．为正整数）

【解析】解：（1），

，

当时，，当时，，

当时，取得最大值，

故．

（2）设剩余45个布娃娃有奖的个数为，则，

故，

设购买下45个剩余的布娃娃，所获利润为，则，

故．

故应该买下剩下45个布娃娃．

（3）抽到个布娃娃有奖品的概率为，

若抽到个有奖品可能性最大，则，

，即，

解得：，

又，，

．

22．已知，分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，若，求直线方程．

【解析】解：（1）由，可得，

椭圆 的方程为，

将 代入可得，

，

椭圆方程为．

（2）易求得右焦点，若直线斜率不存在时，

，不合题意，舍去

设直线的方程为，联立方程：

，

化简得，

设直线与椭圆的两个交点为，，，．

根据韦达定理得，

而，

又有，

所以

，

解得，

直线．

即