首先介绍三个常用不等式。

∣ a b ∣ ≤ ∣ a ∣ p p + ∣ b ∣ q q |a b| \leq \frac{|a|^{p}}{p}+\frac{|b|^{q}}{q} ∣ab∣≤p∣a∣p​+q∣b∣q​

设 p , q > 0 , 1 p + 1 q = 1 p, q>0, \quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 p,q>0,p1​+q1​=1,

(1) ∀ a n , b n ∈ K ( n ∈ N ) \forall a_{n}, b_{n} \in \mathbb{K}(n \in \mathbb{N}) ∀an​,bn​∈K(n∈N) 有 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n b n ∣ ≤ ( ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ p ) 1 p ( ∑ n = 1 ∞ ∣ b n ∣ q ) 1 q \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right| \leq\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|^{q}\right)^{\frac{1}{q}} n=1∑∞​∣an​bn​∣≤(n=1∑∞​∣an​∣p)p1​(n=1∑∞​∣bn​∣q)q1​ (2) 设 E E E 为 R \mathbb{R} R 中Lebesgue可测集, x , y x, y x,y 在 E E E 上可测, 则 ∫ E ∣ x ( t ) y ( t ) ∣ d t ≤ ( ∫ E ∣ x ( t ) ∣ p d t ) 1 p ( ∫ E ∣ y ( t ) ∣ q d t ) 1 q \int_{E}|x(t) y(t)| d t \leq\left(\int_{E}|x(t)|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{E}|y(t)|^{q} d t\right)^{\frac{1}{q}} ∫E​∣x(t)y(t)∣dt≤(∫E​∣x(t)∣pdt)p1​(∫E​∣y(t)∣qdt)q1​

设 1 ≤ p < ∞ 1 \leq p