复变函数 和 复分析 是一回事。

一般来说，数学分析是大学一年级的数学课程，其主要课程范围包括但不限于：极限，微分，积分，一元函数与多元函数等等内容。数学分析是整个分析学的基础，没有学好数学分析的话后续学习其他课程会相对麻烦一些。

复分析的理论比较精美，它是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一一介绍这些基本内容。

（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。

（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓的 Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。

（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这个是复分析的第一个重要定理。

（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。

（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和零点极点的性质。与之类似的幅角定理也展示了类似的关系。

（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出 Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是 Arzela 定理。

（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于 Riemann 映照定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是 Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。

（8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有 Weierstrass 理论，是研究 Weierstrass 函数的，有经典的微分方程，以及该函数的性质。

实分析的学习难度相对较大，包括可测函数可以被简单函数逼近，Egorov 定理，Fatou 引理，单调收敛定理，有界收敛定理，控制收敛定理，Fubini 定理等诸多内容。而且实分析所研究的函数性质都很“不好”，与复分析所研究的解析函数（“很好”）形成了非常鲜明的对比。

一般来说，学习这些课程的时候要循序渐进。

数学分析方面可以参考的书籍包括：国内各大院校的数学分析教程，先看完一些中文教程之后，可以再关注一些名著和资料。例如 Rudin 的《数学分析原理》，柯朗的《微积分和数学分析引论》，卓里奇的《数学分析》，菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》等等。

复分析方面可以推荐的书籍包括：Ahlfors 的《复分析》，Stein 的《复分析》；

实分析方面可以推荐的书籍包括：Stein 的《实分析》，Rudin 的《实分析与复分析》。